晶体结构与布拉维格子

引入

化学中学过晶体的基本概念：原子、离子或分子按一定规则周期性排列。物理学用更严格的数学语言描述这种周期性——布拉维格子。这是理解X射线衍射原理和晶体性质的物理基础。

正文

定义

布拉维格子（Bravais lattice）是空间中无限延伸的周期性点阵，每个格点周围的环境完全相同。所有晶体结构都可以描述为布拉维格子 + 基元（每个格点上的原子或分子组）。

14 种布拉维格子

三维空间中只有 14 种布拉维格子，分属 7 个晶系：

晶系	特征	布拉维格子数
三斜	$a\ne b\ne c$，$\alpha \ne \beta \ne \gamma \ne 90°$	1
单斜	$a\ne b\ne c$，$\alpha =\gamma =90°\ne \beta$	2
正交	$a\ne b\ne c$，$\alpha =\beta =\gamma =90°$	4
四方	$a=b\ne c$，$\alpha =\beta =\gamma =90°$	2
三方	$a=b=c$，$\alpha =\beta =\gamma \ne 90°$	1
六方	$a=b\ne c$，$\alpha =\beta =90°,\gamma =120°$	1
立方	$a=b=c$，$\alpha =\beta =\gamma =90°$	3

立方晶系的三种格子最重要：简单立方（SC）、体心立方（BCC）、面心立方（FCC）。

晶胞参数

描述晶胞需要 6 个参数：三个边长 $a,b,c$ 和三个夹角 $\alpha ,\beta ,\gamma$。这些参数可以通过X 射线衍射精确测定。

晶面与米勒指数

晶面用米勒指数 $(hkl)$ 标记：取晶面在三个晶轴上截距的倒数，化为最小整数比。

例如：$(100)$ 面平行于 $bc$ 平面，$(111)$ 面对角截取三个轴。

布拉格方程 $2d\sin \theta =n\lambda$ 中的 $d$ 就是相邻 $(hkl)$ 面之间的间距。

常见晶体结构

结构	代表物质	配位数	堆积方式
NaCl 型	$\mathrm{NaCl}$, $\mathrm{MgO}$	6	FCC，$\mathrm{Na}{}^{+}$ 填八面体间隙
CsCl 型	$\mathrm{CsCl}$	8	简单立方
金刚石型	C, Si, Ge	4	FCC，半数四面体间隙
闪锌矿型	$\mathrm{ZnS}$	4	类似金刚石，两种原子

化学关联

• 金属晶体与离子晶体的结构类型决定了物理性质（硬度、熔点、导电性）
• 配合物与超分子在固态时也形成特定的晶格
• 粉末 XRD 的峰位由晶胞参数决定，峰强由原子位置决定

引出

布拉维格子描述了原子的空间排列。但晶体中电子的行为需要用量子力学的能带理论来描述，它解释了为什么有些晶体导电（金属）、有些不导电（绝缘体）、有些居中（半导体）。