能带理论简介

引入

孤立原子有分立的能级（见氢原子模型）。当大量原子聚集形成晶体时，这些能级会发生什么？答案是：能级展宽为能带。能带理论是理解金属、绝缘体和半导体区别的核心框架。

正文

定义

能带理论是用量子力学处理晶体中电子运动时得到的能量结构：允许电子占据的能量区间（能带）被禁止占据的间隙（带隙）隔开。

从原子能级到能带

孤立原子有分立的电子能级。当 $N$ 个原子组成晶体时：

• 每个原子能级展宽为包含 $N$ 个紧密排列能级的能带
• $N\sim 10^{23}$，所以能带几乎是连续的
• 相邻能带之间可能有带隙（禁带），也可能重叠

导体、绝缘体和半导体的区别

类型	能带特征	导电性
导体（金属）	最高占据带（导带）半满，或带间重叠	电子可自由移动
绝缘体	价带满，导带空，带隙大（$>3\mathrm{eV}$）	几乎不导电
半导体	价带满，导带空，带隙小（$<3\mathrm{eV}$）	温度/掺杂可激发导电

费米能级

费米能级 $E_F$ 是绝对零度时电子占据的最高能级。在有限温度下，$E_F$ 附近 $k_{B}T$ 范围内的电子可以被热激发到更高的空态。

• 金属：$E_F$ 在能带内部
• 绝缘体/半导体：$E_F$ 在带隙中

有效质量

晶体中电子受周期性势场影响，对外力的响应与自由电子不同。引入有效质量 $m^{\ast }$ 来描述：

$$F=m^{\ast }a$$

$m^{\ast }$ 可以大于、小于甚至负于自由电子质量，取决于能带的曲率。

化学关联

• 金属晶体与离子晶体：金属的导电性来自半满能带，离子晶体的大带隙使其为绝缘体
• 光电催化：半导体的带隙决定了可吸收的光波长（$\lambda <hc/E_g$）
• 电化学：费米能级与电极电势的概念有对应关系

引出

带隙较小的半导体可以通过热激发或掺杂改变导电性，这是半导体物理基础的核心内容。

能带理论的简化模型（紧束缚模型、近自由电子模型）可以从薛定谔方程推导出来。