普朗克黑体辐射定律

引入

为什么加热的铁块会从暗红变橙、再变白？

为什么经典物理算出的黑体辐射在短波段会趋于无穷？

为什么一个公式能同时给出辐射的总功率和峰值波长？

普朗克黑体辐射定律是量子力学的起点。它用一个公式同时解释了实验曲线的整体形状、峰值位置和总功率，而代价是承认能量不连续。

正文

定义

普朗克黑体辐射定律给出温度为 $T$ 的黑体在频率 $\nu$ 附近的辐射强度： $I_{\nu }(\nu ,T)=\frac{2h{\nu }^3}{c^2}\cdot \frac{1}{e^{h\nu /(kT)}-1}$

其中 $h$ 为普朗克常数，$c$ 为光速，$k$ 为玻尔兹曼常数。

公式的三个部分

因子	来源	作用
$2h{\nu }^3/c^2$	单位体积内的模式数	高频模式更多
$1/(e^{h\nu /kT}-1)$	能量子的统计平均	高频模式难以激发
$h\nu /(kT)$	量子效应与热能的比值	决定截断位置

分子让高频模式变多，分母让高频模式被压制，两者竞争的结果是曲线先升后降，出现一个峰值。

与经典结果的对比

理论	短波行为	结果
瑞利-金斯	$I_{\nu }\propto {\nu }^2$，持续增大	紫外灾难，总能量发散
维恩近似	高频符合，低频偏离	只在一端正确
普朗克	两端都符合	完整描述

普朗克公式在 $h\nu \ll kT$ 时退化为瑞利-金斯公式，在 $h\nu \gg kT$ 时给出指数衰减。它在两个极限下都正确，这是它成功的关键。

两个极限情况

低频极限（$h\nu \ll kT$）：

$$e^{h\nu /(kT)}-1\approx \frac{h\nu }{kT}$$

代入后得到瑞利-金斯公式：

$$I_{\nu }\approx \frac{2{\nu }^2}{c^2}kT$$

高频极限（$h\nu \gg kT$）：

$$I_{\nu }\approx \frac{2h{\nu }^3}{c^2}{e}^{-h\nu /(kT)}$$

呈指数衰减，避免了发散。

从普朗克公式导出的两个定律

斯特藩-玻尔兹曼定律：对全频率积分，总辐射功率

$$M=\sigma T^4,\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15h^3{c}^2}$$

维恩位移定律：对频率求导找峰值，得

$${\lambda }_{\max }T=2.898\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$$

这两个定律原本是独立的经验公式，普朗克定律把它们统一为一个来源。这是理论成功的重要标志。

为什么叫“黑体”

黑体吸收所有入射辐射，因此也是最理想的辐射体。它的辐射谱只取决于温度，与材料无关，所以适合作为理论研究的对象。

实验室用带小孔的空腔近似黑体：进入小孔的光在腔内反复反射被吸收，几乎不再出来。

推导现状

完整推导需要结合：

• 腔体内电磁波模式数（驻波条件）
• 每个模式的能量按玻尔兹曼分布统计平均
• 能量取分立值 $nh\nu$ 而非连续值

本笔记只给结论和关键思路。完整推导超出当前学习范围，可参考 普朗克黑体辐射定律的推导。

常见误区

错误说法	问题
“普朗克定律只适用于黑体”	任何物体都可引入发射率修正后使用
“峰值波长随温度升高变长”	恰好相反，变短
“黑体是黑色的”	常温下近似黑，高温下发光很亮

引出

普朗克如何从“能量子”假设推出这个公式？见普朗克常数。

黑体辐射的能量分布为什么与材料无关？见黑体。

宇宙微波背景辐射的谱形为何与黑体谱高度吻合？