普朗克常数

引入

为什么黑体辐射的经典公式在短波段会趋于无穷，与实验不符？

为什么能量不能任意小地增减，而是一份一份的？

为什么 $h$ 这么小，小到日常生活完全察觉不到量子效应？

普朗克在 1900 年为拟合黑体辐射曲线，被迫假设能量只能一份份地发射和吸收。他当时并不相信这个假设，但正是这个“数学技巧”开启了量子力学。

正文

定义

普朗克常数 $h$ 是量子效应的基本尺度，其值为 $h=6.62607015\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ 约化普朗克常数 $\hslash =h/(2\pi )=1.054571817\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$。

能量子

定义

电磁波发射和吸收的能量不是连续的，而是一份份的能量子： $E=h\nu$ 其中 $\nu$ 为频率。

原笔记把频率写成 $v$ 并注为“带电微粒的振动频率 $f$”，容易与速度混淆。标准写法是 $\nu$（希腊字母 nu），与 $f$ 等价。

振子的能量只能取分立值：

$$E_n=nh\nu ,n=0,1,2,\dots$$

这就是“量子化”的原始含义：能量不是连续的斜坡，而是台阶。

为什么能解决紫外灾难

经典理论（瑞利-金斯定律）认为每个频率模式都可以获得任意小的能量，导致高频模式无限多、总能量发散。

普朗克的假设改变了这一点：

频率范围	$h\nu$ 相对 $kT$	结果
低频（$h\nu \ll kT$）	能量子很小	与经典结果接近
高频（$h\nu \gg kT$）	能量子很大	激发概率按 $e^{-h\nu /kT}$ 急剧下降

高频模式需要的能量子太大，热运动无法提供，所以它们几乎不被激发。发散被自然截断。

普朗克常数的意义

层面	意义
数值极小	$10^{-34}$ 量级，宏观物体的量子效应无法察觉
作用量单位	$\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ 与角动量同量纲，量子化的是“作用量”
与 $\hslash$ 的关系	$\hslash$ 在角动量、不确定性原理中更常用
定义地位	2019 年起用于定义千克

$h$ 小是经典物理在日常尺度上成立的根本原因。当作用量远大于 $h$ 时，量子效应被平均掉。

相关常数对照

常数	符号	数值	用途
普朗克常数	$h$	$6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$	光子能量 $E=h\nu$
约化普朗克常数	$\hslash$	$1.055\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$	角动量、不确定性原理
玻尔兹曼常数	$k$	$1.381\times 10^{-23}J/K$	热能与温度换算
光速	$c$	$2.998\times 10^{8}m/s$	光子动量 $p=h/\lambda$

常见误区

错误说法	问题
“普朗克常数是能量”	它是作用量，单位 $\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$
“能量子就是光子”	能量子是普朗克的假设，光子是爱因斯坦的推广
“量子化只发生在微观”	宏观系统也有，只是能级间距小到测不出

引出

普朗克假设能量量子化，但他本人并未接受光量子概念。爱因斯坦在光电效应中把能量子推广为光子。

为什么作用量是量子化的基本对象，而不是能量本身？

普朗克常数会不会随时间变化？目前的观测给出的上限是多少？