动量

引入

物体运动状态遵从的规律实是过于精妙。

正文

定义

物体质量与速度的乘积，为一个矢量，用于描述物体运动状态的趋势。

动量定理

$$I=p^{\prime }-p=m{v}^{\prime }-mv$$ $$\vec{I}={\int }_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt={\int }_{p_1}^{p_2}dp=p_2-p_1$$

当合力作用到质点上一段时间后，质点的动量会发生变化，动量的增量等于所受到的合力在这段时间对质点的冲量。

推导

由牛顿第二定律得：

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{mv}{t}\\ Ft& =mv\\ I& =F(t^{\prime }-t)\\ & =m{v}^{\prime }-mv\end{array}$$

质点系动量定理

定义

质点系的在一段时间内的动量变化量等于质点系受到外力累积效果之和
$\therefore {\sum }_{i=1}^N{\vec{F}}_i=\frac{d}{dt}{\sum }_{i=1}^N{\vec{p}}_i$

推导

设一个质点系有有 $N$ 个质点，其中某一质点的动力学方程为：
$\overrightarrow{F_i}+{\sum }_{i\ne j}\overrightarrow{f_{ij}}={\sum }_{i=1}^N\frac{d{\vec{p}}_i}{dt}$

整个质点系的动力学方程为：

\sum^{N}_{i=1}\vec{F}_{i}+\sum^{N}_{i=1}\sum_{i \ne j}\vec{f}_{ij}=&\sum^{N}_{i=1}\frac{d\vec{p}_{i}}{dt} \\ \because \sum^{N}_{i=1}\frac{d\vec{p}_{i}}{dt}=&\frac{d}{dt}\sum^{N}_{i=1}\vec{p}_{i} \\ \therefore\sum^{N}_{i=1}\vec{F}_{i}+\sum^{N}_{i=1}\sum_{i \ne j}\vec{f}_{ij}=&\frac{d}{dt}\sum^{N}_{i=1}\vec{p}_{i} \\ \end{align}$$ 因为在质点系内的力是成对出现的，相互抵消，有： $$\sum^{N}_{i=1}\sum_{i \ne j}\vec{f}_{ij}=0$$ 则： $$\therefore\sum^{N}_{i=1}\vec{F}_{i}=\frac{d}{dt}\sum^{N}_{i=1}\vec{p}_{i} $$ ### 动量守恒定理 > [!info] 定义 > > 若质点系所受外部力为零，则质点系动量有： > $$p=\sum^{N}_{i=1}p_{i}=\mathrm{常矢量}$$ 推论：如果外部力不为零，但在某个方向上合力为零，虽整个质点系动量不守恒，但可认为质点系**在该方向上动量守恒** ## 引出 > 动量守恒定理的使用范围广泛，在宏观和微观，低速或高速都适用。