动量

引入

为什么台球碰撞后能算出各自的速度？

为什么火箭在真空中也能加速？

为什么动量守恒在宏观和微观、低速和高速都成立？

力描述“怎么变”，动量描述“变多少”。动量把力和时间的效果打包成一个守恒量，让碰撞、爆炸、反冲这类“过程极短、力极复杂”的问题变得可算。

正文

定义

动量是物体质量与速度的乘积，是矢量，描述物体运动状态的“趋势”： $\vec{p}=m\vec{v}$ 单位 $\mathrm{kg}\cdot m/s$。

动量定理

$$\vec{I}={\vec{p}}^{\prime }-\vec{p}=m{\vec{v}}^{\prime }-m\vec{v}$$

一般形式：

$$\vec{I}={\int }_{t_1}^{t_2}\vec{F}\mathrm{d}t={\int }_{{\vec{p}}_1}^{{\vec{p}}_2}\mathrm{d}\vec{p}={\vec{p}}_2-{\vec{p}}_1$$

合外力在一段时间内对质点的冲量，等于质点动量的增量。

推导

由牛顿第二定律的动量形式：

$$\begin{array}{rl}\vec{F}& =\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}\\ \vec{F}\mathrm{d}t& =\mathrm{d}\vec{p}\\ {\int }_{t_1}^{t_2}\vec{F}\mathrm{d}t& ={\vec{p}}_2-{\vec{p}}_1\end{array}$$

质量不变时也可写成 $I=F(t^{\prime }-t)=m{v}^{\prime }-mv$。

质点系动量定理

定义

质点系在一段时间内的动量变化量，等于系统所受外力冲量之和： ${\sum }_{i=1}^N{\vec{F}}_i=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\sum }_{i=1}^N{\vec{p}}_i$

推导

设系统有 $N$ 个质点，第 $i$ 个质点的动力学方程为：

$${\vec{F}}_i+\sum _{i\ne j}{\vec{f}}_{ij}=\frac{\mathrm{d}{\vec{p}}_i}{\mathrm{d}t}$$

对所有质点求和：

$$\sum _{i=1}^N{\vec{F}}_i+\sum _{i=1}^N\sum _{i\ne j}{\vec{f}}_{ij}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum _{i=1}^N{\vec{p}}_i$$

内力总是成对出现、大小相等方向相反（牛顿第三定律），相互抵消：

$$\sum _{i=1}^N\sum _{i\ne j}{\vec{f}}_{ij}=0$$

因此只剩外力项。这个推导说明：内力再复杂，也不改变系统总动量。

动量守恒定律

定义

若质点系所受合外力为零，则系统总动量保持不变： $\vec{p}={\sum }_{i=1}^N{\vec{p}}_i=\text{常矢量}$

推论：若合外力不为零，但在某一方向上合力为零，则系统在该方向上动量守恒。

情形	守恒情况
合外力为零	总动量守恒
某方向合外力为零	该方向分量守恒
内力远大于外力（碰撞、爆炸）	近似守恒

第三种情形是碰撞问题能用动量守恒的原因。碰撞瞬间内力极大，重力、摩擦力等外力冲量可以忽略。

适用范围的特别说明

动量守恒的适用范围比机械能守恒更广：

领域	是否适用
宏观低速	适用
微观粒子	适用
相对论高速	适用（需用相对论动量）
有耗散力	仍适用（只要外力冲量可忽略）

这是动量守恒比能量守恒更“好用”的地方——它不关心能量转化为内能。

常见应用

场景	原理
碰撞	碰撞瞬间内力远大于外力，动量守恒
爆炸	爆炸前动量为零，爆炸后各部分动量矢量和为零
反冲	火箭喷出气体获得反向动量
人船模型	人与船组成的系统水平方向无外力，质心不动

引出

动量守恒与能量守恒同时使用时，如何确定碰撞属于哪一类？

为什么碰撞问题中动量守恒总是成立，而机械能守恒不一定？

反冲运动的能量从哪来？动量守恒和能量守恒是否矛盾？