胡克定律

引入

为什么弹簧秤的刻度是均匀的？

为什么拉得越长越费力，而且不是线性增加“感觉”？

为什么弹性势能是 $\frac{1}{2} k x^{2}$ ，而不是 $k x^{2}$ ？

胡克定律是“力与形变成正比”的最简单模型。它的价值不只是弹簧，还在于它给出了第一个可计算的势能形式，也是简谐振动的力学基础。

定义

胡克定律：在弹性限度内，固体材料受力后，应力与应变成线性关系。对弹簧，回复力与形变量成正比： $F_{s} = - k x$

$k$ 为劲度系数，单位 $N/m$ ；负号表示回复力方向与形变方向相反。

“弹性限度”是关键限制。橡皮筋拉过头会松弛，就是超出了弹性限度。

连接方式	等效劲度系数	特点
串联	$\frac{1}{k} = \frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{2}}$	变软，等效 $k$ 减小
并联	$k = k_{1} + k_{2}$	变硬，等效 $k$ 增大

串联时两弹簧受力相同、形变相加；并联时形变相同、受力相加。这个规律和电阻的串并联正好相反。

定义

弹簧因形变而储存的势能： $E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}$

如果力是恒力，功为 $W = F x$ 。但弹力 $F = - k x$ 随位移线性变化，不能直接相乘。

画出 $F$ - $x$ 图像：

图线是一条过原点的直线，力从 $0$ 线性增加到 $k x$ 。这个过程的平均力为

\overline{F} = \frac{0 + k x}{2} = \frac{1}{2} k x

平均力乘以位移即得功，也就是储存的弹性势能：

E_{p} = \overline{F} x = \frac{1}{2} k x^{2}

用积分验证：

E_{p} = \int_{0}^{x} k x^{'} d x^{'} = \frac{1}{2} k x^{2}

两种方法结果一致。图像法的优点是直观，能看出“为什么是二分之一”——三角形面积。

通常取弹簧原长处为势能零点。此时：

势能恒为正，这与重力势能可以取负值不同。原因是弹力总指向平衡位置，偏离越远势能越高。

把 $F = - k x$ 代入牛顿第二定律就得到简谐振动的动力学方程：

m \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} = - k x

所以胡克定律是简谐振动的力学来源。不是所有振动都服从胡克定律，但服从胡克定律的振动一定是简谐振动。

超出弹性限度后，力与形变的关系如何描述？

为什么弹簧的等效劲度系数在串联时减小、并联时增大？

弹性势能与重力势能在零点选择上有什么本质差别？