重力势能

引入

为什么说“高处的东西有能量”，但能量多少取决于你选的零点？

为什么重力做功只看高度差，不看走了多远的路？

为什么重力势能可以取负值，弹性势能却总是正的？

重力势能是最直观的势能形式，也是理解“保守力—势能”关系的最好入口。它的取值依赖零点，但势能差永远确定。

定义

重力势能是引力势能在地球表面附近的一种简化形式： $E_{p} = m g h$ 其中 $h$ 是相对零势能面的高度。

W_{G} = m g Δ h = m g (h_{1} - h_{2})

其中 $Δ h$ 是初末高度差。下落时 $h_{1} > h_{2}$ ， $W_{G} > 0$ ；上升时 $W_{G} < 0$ 。

由功和重力 $F = m g$ ：

W = Fl cos α F = m g

由于重力属于保守力，做功只与初末位置有关。把位移分解为竖直分量 $Δ h = h_{1} - h_{2}$ ，水平分量与重力垂直、不做功，因此

W_{G} = m g Δ h

这个推导的关键是：无论物体沿什么路径移动，重力的水平分量始终为零，只有高度变化贡献功。

E_{p} = m g h

单位： $1 J = 1 N \cdot m = 1 kg \cdot m^{2} / s^{2}$ 。

原笔记写作 $1 J = 1 kg \cdot m/ s^{2}$ ，量纲不对。 $kg \cdot m/ s^{2}$ 是力的单位（牛顿），应写成 $kg \cdot m^{2} / s^{2}$ 。

零势能面根据问题需要主观选取，常选地面、桌面或物体运动的最低点。

零点选择的影响：

势能数值随零点改变，但两点之间的势能差不变。所以列机械能守恒方程时，只要初末状态用同一个零点，结果就正确。

重力做功等于重力势能变化的负值：

W_{G} = - Δ E_{p} = - (E_{p 2} - E_{p 1})

这个关系是保守力的一般性质，不只对重力成立。

重力势能是引力势能在 $h ≪ R$ 时的近似。距离变化不大时， $g$ 视为常数，线性关系足够精确。

为什么重力势能可以取负值？负值表示什么？

保守力做功与路径无关，这个性质如何定义势能？

在电梯里加速上升时，物体的重力势能如何变化？