动力方程

引入

位置、速度、加速度都有方向，为什么不能只用一个数值描述？

平均速度和瞬时速度差在哪里，为什么必须用极限定义瞬时速度？

同一个运动，在直角坐标系和自然坐标系里写出来为什么形式不同？

描述质点的运动，本质上是给出位置随时间变化的函数。有了它，速度和加速度都只是逐次求导的结果。问题在于，位置本身是矢量，必须放进坐标系才能计算。

正文

定义

运动方程是描述质点位置随时间变化的函数 $\vec{r}=\vec{r}(t)$。由它可以导出速度和加速度。

以下表述在笛卡尔坐标系中进行

位置矢量

定义

用从参考点指向质点所在位置的有向线段描述质点的位置，记作 $\vec{r}$。

$$\vec{r}=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}$$

位置矢量同时给出距离和方向。它与“位移”不同：位矢依赖参考点选择，位移只依赖初末位置。

速度

定义

描述质点运动快慢和方向的物理量，等于位置变化量与所用时间的比值在 $\Delta t\to 0$ 时的极限。

平均速度

$$\overline{\vec{v}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$$

平均速度只反映一段时间内的整体效果，掩盖了中间的细节。

瞬时速度

$$\vec{v}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}$$

瞬时速度的方向沿轨迹切线，大小就是速率。

加速度

$$\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^2\vec{r}}{\mathrm{d}{t}^2}$$

加速度描述速度变化的快慢，包括大小变化和方向变化。曲线运动即使速率不变，也有加速度。

三个量的关系

位置 r(t)
  ↓ 求导
速度 v(t)
  ↓ 求导
加速度 a(t)

反向则逐次积分，并且必须给出初始条件。

量	定义式	方向
位置	$\vec{r}(t)$	从参考点指向质点
速度	$\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}t$	沿轨迹切线
加速度	$\mathrm{d}\vec{v}/\mathrm{d}t$	指向轨迹凹侧（一般情形）

引出

曲线运动的描述一般放在自然坐标系中进行，用轨迹的切向和法向分别表示速度大小和方向的变化。

为什么 $|\mathrm{d}\vec{r}|$ 和 $\mathrm{d}|\vec{r}|$ 不相等？这个区别在什么情况下会造成错误？

位移、路程、位矢三者什么时候相等，什么时候不相等？