简谐振动的能量

引入

为什么把弹簧拉得越远，放手后小球的最大速度越大？

为什么振动过程中动能和势能都在变，总能量却不变？

为什么说“振幅的平方”代表能量，而不是振幅本身？

简谐振动的运动方程描述了位移如何随时间变化，但很多实际问题关心的是能量：弹簧振子能对外做多少功、分子振动能级有多高、共振时能量如何积累。这些问题都要从能量角度重新看一遍振动。

正文

定义

简谐振动的总机械能守恒，动能和势能周期性转换。总能量与振幅的平方成正比： $E=\frac{1}{2}k{A}^2$

动能与势能

设位移 $x=A\cos (\omega t+\phi )$，其中 $\omega =\sqrt{k/m}$。

动能：

$$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}k{A}^2{\sin }^2(\omega t+\phi )$$

势能：

$$E_p=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^2{\cos }^2(\omega t+\phi )$$

总能量：

$$E=E_k+E_p=\frac{1}{2}k{A}^2=\text{const}$$

推导中用了 $v=-A\omega \sin (\omega t+\phi )$ 和 $k=m{\omega }^2$。

两个能量项都是 ${\sin }^2$ 或 ${\cos }^2$ 形式，相位差恰好是 $\pi /2$：一个最大时另一个为零。

能量转换特征

位置	动能	势能
平衡位置（$x=0$）	最大 $E_k=E$	零
最大位移（$x=\pm A$）	零	最大 $E_p=E$
中间位置	$0<E_k<E$	$0<E_p<E$

一个周期内，动能和势能各完成两次完整振荡（频率是振动频率的两倍），但总和恒定。

这一点和匀速圆周运动不同：圆周运动的速率不变，动能不变；简谐振动的速率周期变化，动能也周期变化。

平均能量

一个周期内的平均值：

$$\overline{E_k}=\overline{E_p}=\frac{1}{4}k{A}^2=\frac{1}{2}E$$

动能和势能的平均值相等，各占总能量的一半。这个结论对任何简谐振动都成立，与初相位无关。

与振幅的关系

振幅变为	总能量变为	最大速度变为
$2A$	$4E$	$2v_{\max }$
$A/2$	$E/4$	$v_{\max }/2$

总能量与振幅平方成正比，这是波动、声强、光强中“强度正比于振幅平方”的根源。

量子化后的振子能量

经典振子的能量可以连续取值，只由振幅决定。量子力学中，谐振子能量是量子化的：

$$E_v=\left(v+\frac{1}{2}\right)h\nu ,v=0,1,2,\dots$$

零点能 $E_0=\frac{1}{2}h\nu \ne 0$——即使在绝对零度，分子仍在振动。这是不确定性原理的直接结果：如果完全静止在平衡位置，位置和动量就同时确定了。

化学意义

• 分子振动：双原子分子的化学键振动可近似为简谐振动，力常数 $k$ 反映键的强度。键越强，$k$ 越大，振动频率越高。
• 红外光谱：$\Delta v=\pm 1$ 的跃迁对应基频吸收（见分子光谱）。
• 零点能：即使在绝对零度，分子仍有振动能量，影响反应活化能和同位素效应。

引出

经典简谐振动是理想模型。实际分子振动在高能级时偏离简谐近似，需要引入非简谐修正。

阻尼振动中总能量如何随时间衰减？衰减的快慢由什么决定？

受迫振动达到稳态后，能量输入与耗散如何平衡？