简谐振动的能量

引入

简谐振动的运动方程描述了位移随时间的变化。但振动的能量如何在动能和势能之间转换？总能量与什么有关？这些问题在理解分子振动模型时同样重要。

正文

定义

简谐振动的总机械能守恒，动能和势能周期性转换。总能量与振幅的平方成正比：$E=\frac{1}{2}k{A}^2$。

动能与势能

设简谐振动的位移 $x=A\cos (\omega t+\varphi )$，其中 $\omega =\sqrt{k/m}$：

$$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}k{A}^2{\sin }^2(\omega t+\varphi )$$ $$E_p=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^2{\cos }^2(\omega t+\varphi )$$

总能量：

$$E=E_k+E_p=\frac{1}{2}k{A}^2=\text{const}$$

能量转换特征

位置	动能	势能
平衡位置（$x=0$）	最大 $E_k=E$	零
最大位移（$x=\pm A$）	零	最大 $E_p=E$
中间位置	$0<E_k<E$	$0<E_p<E$

一个周期内，动能和势能各完成两次完整的振荡（频率为振动频率的两倍），但总和恒定。

平均能量

一个周期内的平均值：

$$\overline{E_k}=\overline{E_p}=\frac{1}{4}k{A}^2=\frac{1}{2}E$$

动能和势能的平均值相等，各占总能量的一半。

量子化后的振子能量

经典振子能量可以取任意值（与振幅有关）。量子力学中，谐振子能量是量子化的：

$$E_v=\left(v+\frac{1}{2}\right)h\nu ,v=0,1,2,\dots$$

零点能 $E_0=\frac{1}{2}h\nu \ne 0$——即使在绝对零度，分子仍在振动。这是不确定性原理的直接结果。

化学意义

• 分子振动：双原子分子的化学键振动可近似为简谐振动，力常数 $k$ 反映键的强度
• 红外光谱：$\Delta v=\pm 1$ 的跃迁对应基频吸收（见分子光谱）
• 零点能：即使在绝对零度，分子仍有振动能量，影响反应活化能

引出

经典简谐振动是一个理想模型。实际分子振动在高振动能级时偏离简谐近似，需要引入非简谐修正（见阻尼振动和非简谐振动模型）。