条件概率与全概率公式

引入

已知检测结果为阳性，患病的概率是多少？这个概率和”患病者检测为阳性”的概率是同一个吗？

为什么把情况分成几类再分别计算，能得到总的概率？

贝叶斯公式为什么被称为”逆概率”公式？

条件概率是概率论的分水岭。在此之前，概率是”事件发生的可能性”；在此之后，概率变成”在已知信息下，事件发生的可能性”。所有推断问题都从这里开始。

正文

定义

设 $P(B)>0$，在事件 $B$ 已发生的条件下，事件 $A$ 发生的条件概率为 $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

条件概率的本质是缩小样本空间：把 $\Omega$ 换成 $B$，再在 $B$ 内计算 $A$ 所占的比例。

乘法公式

由定义直接变形：

$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)=P(B\mid A)P(A)$

推广到多个事件：

$P(A_1{A}_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1{A}_2)\cdots$

全概率公式

定理

设 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 两两互斥，且 $\bigcup B_i=\Omega$，$P(B_i)>0$，则对任意事件 $A$： $P(A)={\sum }_{i=1}^{n}P(A\mid B_i)P(B_i)$

思路是”分情况讨论”：把样本空间按 $B_i$ 切成若干块，分别计算 $A$ 在每块中的概率，再加权求和。

步骤	操作
1	找一组互斥且完备的 $B_i$（“原因”）
2	计算每个 $P(B_i)$（先验概率）
3	计算每个 $P(A\mid B_i)$
4	加权求和

贝叶斯公式

定理

在同样的条件下，若 $P(A)>0$，则 $P(B_i\mid A)=\frac{P(A\mid B_i)P(B_i)}{\sum _{j}P(A\mid B_j)P(B_j)}$

贝叶斯公式解决的是”已知结果，反推原因”的问题：

公式	方向	已知	求
全概率	原因 → 结果	$P(B_i)$、$P(A\mid B_i)$	$P(A)$
贝叶斯	结果 → 原因	$P(A)$、$P(A\mid B_i)$	$P(B_i\mid A)$

分母正是全概率公式算出的 $P(A)$。

经典案例：疾病检测

设某病患病率 $P(\text{病})=0.001$，检测灵敏度 $P(\text{阳}\mid \text{病})=0.99$，特异度 $P(\text{阴}\mid \text{无病})=0.99$。

求 $P(\text{病}\mid \text{阳})$：

$P(\text{病}\mid \text{阳})=\frac{0.99\times 0.001}{0.99\times 0.001+0.01\times 0.999}\approx \frac{0.00099}{0.01098}\approx 0.09$

检测阳性，真实患病概率只有约 $9\%$。原因不是检测不准，而是基础患病率太低：大量健康人被误检，误检人数远超真实患者。

这个例子说明：先验概率对后验概率的影响，往往超过检测精度。这也是贝叶斯推断常被直觉低估的地方。

独立性

定义

若 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$，则称 $A$、$B$ 相互独立。等价地，当 $P(B)>0$ 时，$P(A\mid B)=P(A)$。

概念	条件	含义
互斥	$A\cap B=\varnothing$	不能同时发生
独立	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$	发生与否互不影响

独立性的判断不能靠”感觉”。两件事在语义上无关，不代表概率上独立；反之亦然。必须验证乘法公式。

常见误区

错误说法	问题
"$P(A\mid B)=P(B\mid A)$"	方向不同，一般不相等
”互斥的事件是独立的”	非零概率下一定不独立
”全概率公式中的 $B_i$ 只需互斥”	还需完备（并集为 $\Omega$）
“检测准确率高就能确诊”	还取决于基础患病率
”独立就是没有因果关系”	独立是概率性质，与因果无关

引出

为什么基础患病率低时，阳性结果的可信度也低？

如果先验概率未知，贝叶斯公式还能用吗？

多次检测能否提高后验概率？提高多少？

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