随机事件与概率

引入

“明天下雨的概率是 $70\%$“，这句话在数学上是什么意思？

为什么”掷骰子出现偶数”和”出现奇数”的概率之和恰好是 $1$？

两个事件”互斥”和”独立”，为什么是完全不同的两件事？

概率论的第一步是把随机现象翻译成集合：每一次试验的结果是样本空间中的一个点，事件是样本空间的子集。翻译完成后，概率就变成集合的度量。

正文

定义

• 随机试验：可以在相同条件下重复进行，结果不止一个且事先无法确定的试验。
• 样本空间 $\Omega$：所有可能结果组成的集合。
• 样本点：$\Omega$ 中的每个元素。
• 随机事件：样本空间的子集，简称事件。

事件的运算

运算	记号	含义
包含	$A\subseteq B$	$A$ 发生则 $B$ 必发生
并	$A\cup B$	$A$、$B$ 至少一个发生
交	$A\cap B$	$A$、$B$ 同时发生
差	$A-B$	$A$ 发生且 $B$ 不发生
对立	$\bar{A}$	$A$ 不发生
互斥	$A\cap B=\varnothing$	不能同时发生

事件运算与 集合 运算完全同构：并对应并集，交对应交集，对立对应补集。这不是类比，而是同一套结构。

概率的公理化定义

定义

设 $\Omega$ 为样本空间，对每个事件 $A$ 赋予实数 $P(A)$，若满足：

1. 非负性：$P(A)\ge 0$
2. 规范性：$P(\Omega )=1$
3. 可列可加性：若 $A_1,A_2,\cdots$ 两两互斥，则 $P\left(\bigcup A_i\right)=\sum P(A_i)$ 则称 $P(A)$ 为事件 $A$ 的概率。

这三条公理不回答”概率是什么”，只规定它满足哪些规则。所有概率公式都可以从这三条推出。

由公理推出的性质

性质	式子
不可能事件	$P(\varnothing )=0$
对立事件	$P(\bar{A})=1-P(A)$
减法	$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$
加法（一般）	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
加法（互斥）	$A\cap B=\varnothing \Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

加法公式中为什么要减去 $P(A\cap B)$？ 因为交集中的样本点被计算了两次。

古典概型

定义

若样本空间有限，且每个样本点出现的可能性相同，则 $P(A)=\frac{A\text{ 包含的样本点数}}{\Omega \text{ 的样本点总数}}$

使用条件必须同时满足：

条件	检验方式
有限性	样本点个数有限
等可能性	每个样本点概率相同

等可能性往往被忽略。例如”掷两枚硬币，看正面数”的样本空间 $\{0,1,2\}$ 不是等可能的，因为 $1$ 个正面有两种情况（正反、反正），而 $0$ 和 $2$ 各只有一种。

互斥与独立的区别

概念	定义	含义
互斥	$A\cap B=\varnothing$	不能同时发生
独立	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$	一个发生不影响另一个的概率

互斥不等于独立。若 $A$、$B$ 互斥且 $P(A)>0$、$P(B)>0$，则 $P(A\cap B)=0\ne P(A)P(B)$，所以它们一定不独立。

直觉解释：互斥意味着”知道 $A$ 发生，就知道 $B$ 一定不发生”，这是最强的相关性，与独立恰好相反。

几何概型

当样本空间是连续区域时，用长度、面积、体积之比定义概率：

$P(A)=\frac{\text{区域 }A\text{ 的度量}}{\text{区域 }\Omega \text{ 的度量}}$

几何概型的关键是等可能性由”均匀分布”保证，而不是由”个数相同”保证。

常见误区

错误说法	问题
”互斥就是独立”	互斥且非零概率时一定不独立
”$P(A)+P(B)=1$ 说明 $A$、$B$ 对立”	还需互斥
”样本空间元素个数相同就等可能”	等可能需由试验机制保证
”概率为 $0$ 的事件不可能发生”	连续型中单点概率为 $0$ 但可能发生
”$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ 总成立”	仅互斥时成立

引出

为什么连续型随机变量中，单点概率为 $0$ 却可能发生？

条件概率如何改变样本空间？

互斥与独立在加法公式和乘法公式中分别起什么作用？

• 条件概率与全概率公式：条件化后的概率
• 离散型随机变量：把事件映射为数值
• 集合：事件运算的集合基础
• 排列与组合：古典概型的计数工具
• 应用数学：应用数学的整体框架
• 数学：数学学科入口