不定积分运算法则

引入

积分表里没有 $\int 2x\cos (x^2)\mathrm{d}x$，为什么令 $u=x^2$ 就能做出来？

第一换元法和第二换元法有什么区别？为什么一个叫”凑微分”，一个叫”变量代换”？

换元之后为什么还要换回去？

正文

定义

换元积分法是通过变量替换，把不易积分的式子化为基本积分表中的形式。分两类：第一换元法（凑微分）与第二换元法（变量代换）。

第一换元法（凑微分）

定理

设 $f(u)$ 有原函数 $F(u)$，$u=\phi (x)$ 可导，则 $\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C=F[\phi (x)]+C$

关键观察：${\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\mathrm{d}\phi (x)$，所以被积表达式中的 ${\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ 可以整体看成 $\mathrm{d}u$。

步骤	操作
1	识别出 $\phi (x)$ 与 ${\phi }^{\prime }(x)$
2	把 ${\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ 凑成 $\mathrm{d}\phi (x)$
3	对 $u$ 积分
4	回代为 $x$ 的表达式

“凑”的含义：不是先换元再算，而是先在式子里认出某个整体的导数。

例如：

$\int 2x\cos (x^2)\mathrm{d}x=\int \cos (x^2)\mathrm{d}(x^2)=\sin (x^2)+C$

这里把 $2x\mathrm{d}x$ 直接看成 $\mathrm{d}(x^2)$，一步完成。

常见凑微分形式

原式	凑成
$2x\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(x^2)$
$\frac{1}{x}\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\ln x)$
$\cos x\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\sin x)$
$e^x\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(e^x)$
$\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\arctan x)$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\arcsin x)$

这张表是凑微分法的全部工具，熟练后可以不写换元步骤。

第二换元法（变量代换）

定理

设 $x=\psi (t)$ 单调可导，${\psi }^{\prime }(t)\ne 0$，且 $f[\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)$ 有原函数，则 $\int f(x)\mathrm{d}x={\left[\int f[\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t\right]}_{t={\psi }^{-1}(x)}$

与第一换元法的方向相反：

方法	替换方向	目的
第一换元	把 $\phi (x)$ 看成 $u$	简化复合结构
第二换元	把 $x$ 换成 $\psi (t)$	消去根式、化为三角

三种常用三角代换

被积函数含	代换	依据
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin t$	$1-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan t$	$1+{\tan }^{2}t={\sec }^{2}t$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec t$	${\sec }^{2}t-1={\tan }^{2}t$

代换的依据都是三角恒等式。选取哪个，取决于要消去哪种根式。

例题

$\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt{x}}$

令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2$，$\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$：

$\int \frac{2t}{1+t}\mathrm{d}t=2\int \left(1-\frac{1}{1+t}\right)\mathrm{d}t=2\left(t-\ln |1+t|\right)+C$

回代 $t=\sqrt{x}$：

$=2\sqrt{x}-2\ln (1+\sqrt{x})+C$

回代是必须的，因为原题的自变量是 $x$。

定积分中的换元

${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

其中 $\psi (\alpha )=a$、$\psi (\beta )=b$。

定积分换元后不必回代，因为上下限已经换成了 $t$ 的范围。这是定积分换元比不定积分省一步的地方。

选择的判断

症状	用
被积函数含 $\phi (x)$ 与 ${\phi }^{\prime }(x)$	第一换元
含 $\sqrt{a^2-x^2}$ 等根式	第二换元
含 $\frac{1}{1+\sqrt{x}}$ 等形式	令根式为 $t$
分母次数高、分子次数低	倒代换 $x=\frac{1}{t}$

常见误区

错误说法	问题
”换元后不用回代”	不定积分必须回代
”定积分换元后要回代”	不需要，但要换上下限
”第二换元法随便选 $x=\psi (t)$“	需单调、可导、导数非零
”凑微分会改变积分值”	只是形式变换
”三角代换只有一种”	三种，取决于根式形式

引出

为什么第二换元法要求 $\psi$ 单调？这与反函数存在性有关吗？

凑微分与链式法则是什么关系？

换元法能否处理所有初等函数的积分？

• 不定积分：原函数
• 不定积分性质：线性性质
• 常用不定积分：基本积分表
• 分部积分法：另一种主要方法
• 三角恒等式：三角代换的依据
• 数学分析：数学分析的整体框架