常用不定积分

引入

求导有公式表，求积分为什么没有”完整的”公式表？

为什么积分表里的每一条都能用求导验证？

记住积分表就够了吗，还是需要理解它的来源？

正文

说明

基本积分表是求导公式表的逆写。每一条都可以通过对右侧求导、验证是否等于被积函数来确认。

基本积分表

$$\begin{array}{rl}\int k\mathrm{d}x& =kx+C(k\text{ 是常数})\\ \int x^u\mathrm{d}x& =\frac{x^{u+1}}{u+1}+C(u\ne -1)\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{x}& =\ln |x|+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}& =\arctan x+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}& =\arcsin x+C\\ \int \cos x\mathrm{d}x& =\sin x+C\\ \int \sin x\mathrm{d}x& =-\cos x+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{{\cos }^{2}x}& =\tan x+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}x}& =-\cot x+C\\ \int \sec x\tan x\mathrm{d}x& =\sec x+C\\ \int \csc x\cot x\mathrm{d}x& =-\csc x+C\\ \int e^x\mathrm{d}x& =e^x+C\\ \int a^x\mathrm{d}x& =\frac{a^x}{\ln a}+C\end{array}$$

为什么没有”完整的”积分表

原因	说明
原函数可能不存在初等表达	$\int e^{-x^2}\mathrm{d}x$
组合无限多	理论上无法穷举
方法依赖形式	同一函数的不同写法需要不同技巧

求导是机械的，积分不是。求导有固定的链式、乘积、商法则，按规则走一定能出结果；积分没有通用算法，只能靠识别形式、选择方法。

验证方法

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(F(x)+C\right)=f(x)$

例如验证 $\int \frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln |x|+C$：

${\left(\ln |x|\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}(x\ne 0)$

绝对值不能少：$\ln x$ 只在 $x>0$ 有定义，而 $\frac{1}{x}$ 在 $x<0$ 也有定义。加绝对值后两边定义域一致。

容易记错的几条

积分	常见错误	正确
$\int \frac{\mathrm{d}x}{x}$	$\ln x+C$	$\ln |x|+C$
$\int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$	$\arctan x$ 写成 $\arcsin x$	$\arctan x+C$
$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arctan x$	$\arcsin x+C$
$\int \sin x\mathrm{d}x$	$\cos x+C$	$-\cos x+C$
$\int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}x}$	$\cot x+C$	$-\cot x+C$

正弦、余切的积分都带负号，因为它们求导时产生负号。

幂函数公式的边界

$\int x^u\mathrm{d}x=\frac{x^{u+1}}{u+1}+C(u\ne -1)$

$u=-1$ 必须排除：此时分母为零，公式失效，改用 $\int \frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln |x|+C$。

$u$	结果
$u=2$	$\frac{x^3}{3}+C$
$u=\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}{x}^{3/2}+C$
$u=-2$	$-\frac{1}{x}+C$
$u=-1$	$\ln |x|+C$（单独公式）

扩充表

由基本表与线性性质可以推出更多：

积分	结果
$\int \tan x\mathrm{d}x$	$-\ln |\cos x|+C$
$\int \cot x\mathrm{d}x$	$\ln |\sin x|+C$
$\int \sec x\mathrm{d}x$	$\ln |\sec x+\tan x|+C$
$\int \csc x\mathrm{d}x$	$\ln |\csc x-\cot x|+C$
$\int \frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2}$	$\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$
$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$\arcsin \frac{x}{a}+C$

这些不是必须背的，但推导过程（凑微分）需要掌握。

使用顺序

步骤	操作
1	先化简被积函数（展开、约分）
2	检查是否能拆成基本表的形式
3	若含复合结构，尝试凑微分
4	若含根式，尝试三角代换
5	若含乘积，尝试分部积分

不要一上来就套公式：先化简往往能把问题变成表内的形式。

常见误区

错误说法	问题
”积分表和导数表一样完整”	很多函数无初等原函数
"$\int x^{-1}\mathrm{d}x=\frac{x^0}{0}$"	分母为零，用对数公式
”积分表不需要记”	基本表必须熟记
”所有积分都能套表”	需先变形
”验证时不用求导”	求导是唯一可靠的检验

引出

为什么 $\int e^{-x^2}\mathrm{d}x$ 没有初等原函数，但它在概率中如此重要？

积分表能否用算法自动生成？

定积分的计算如何转化为查表？

• 不定积分：原函数的概念
• 不定积分运算法则：换元法
• 不定积分性质：线性性质
• 分部积分法：乘积的积分
• 常用导数：积分表的来源
• 数学分析：数学分析的整体框架