无穷大的比较

引入

有没有无穷小的比较呢？

有的，其概念在数学上也非常重要——无穷小的比较

定义

假设当 $x \to a$ （或 $x \to \infty$ ）时， $lim f (x) = \infty$ 且 $lim g (x) = \infty$ 。我们通过考察它们比值的极限来定义它们的阶：

$L = lim \frac{f ( x )}{g ( x )}$

定义：如果 $L = \infty$ ，称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的高阶无穷大.

定义：如果 $L = C (C 是任意非零常数)$ ，称为同阶无穷大.

是同阶无穷大的一种特殊情况，如果 $L = 1$ 那么，我们称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是等价无穷大，记作 $f (x) \sim g (x)$ .

定义：如果 $L = 0$ ，称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的低阶无穷大.

如果存在一个正数 $k$ ，使得：

$lim \frac{f ( x )}{[ g ( x ) ] ^{k}} = C (C 是任意非零常数)$

那么，我们称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的 $k$ 阶无穷大.

不同于使用等价无穷小，使用时我们依赖一个核心原则：
“抓大头”原则，即“保留最高阶项”（Dominant Term）
当 $x \to \infty$ 时，一个函数中增长最快的那部分（最高阶项）就是它的等价无穷大

注意：等价无穷大在乘除法中可以使用，但在有加减法运算时候不能使用等价无穷大替换

多项式 $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{0} \sim a_{n} x^{n}$ (当 $x \to \infty$ 且 $a_{n} \neq = 0$ )
带根式的函数 $a x^{2} + b x + c \sim a ∣ x ∣$ (当 $x \to \pm \infty$ 且 $a > 0$ ) $n a_{k} x^{k} + \dots \sim n a_{k} x^{k / n}$
对数函数 $ln (x^{n} + 1) \sim ln (x^{n}) = n ln (x)$ （当 $x \to \infty$ ）
斯特林公式 $n! \sim 2 πn (\frac{n}{e})^{n}$ (当 $n \to \infty$ )
求和 $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2} \sim \frac{1}{2} n^{2}$ (当 $n \to \infty$ ) $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} \sim \frac{2 n ^{3}}{6} = \frac{1}{3} n^{3}$ (当 $n \to \infty$ )

求解 $\frac{\infty}{\infty}$ 型极限：比较分子和分母的阶，是求解这类极限的基本方法.

判断算法的时间复杂度，如 $O (lo g n)$ , $O (n)$ , $O (n^{2})$ , $O (2^{n})$ ，就是在比较不同函数作为无穷大时的阶. 计算机科学

无穷大的比较和无穷小的比较像是同一枚硬币的两面.