导数的运算法则

引入

正文

导数的四则运算

$$\begin{array}{r}(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }\\ (Cu{)}^{\prime }=C\cdot u^{\prime }\\ (uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ {\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\end{array}$$

推导

暂时忽略

反函数求导

复合函数求导

定义- 复合函数

$y=f(u),u=g(x)$ 则 $y=f(g(x))$，若 $u$ 在 $x$ 处可导，且 $y$ 在 $u$ 可导，则有：$f(g(x))$ 在 $x$ 处可导，记为：$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)$

理解

有 $y=f(u),u=g(t),t=h(x)$,若 $t$ 在 $x$ 处可导，且 $u$ 在 $t$ 可导，$y$ 在 $u$ 处可导，则

$$(f(g(t(x))){)}^{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$$

因为求导时外层函数对内层函数求导，这种求导也被称为链式法则

隐函数求导

定义-隐函数

形如 $f(x,y)=0$ 的函数

处理方法：就是同时对方程的左右两侧对进行对 $x$ 的求导。

注意：

1. 当 $y$ 对 $x$ 求导时，有 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y^{\prime }$
2. 因 $y$ 是 $x$ 函数，当式子中包含 $y$ 时，把该式子看作是复合函数求导，如：$(e^y{)}^{\prime }=e^y\cdot y^{\prime }$

对数求导法

对于形如 $y=u^v$ 的幂指函数，有两种求导方法：

方法一

两边取对数，再求导. $\ln y=\ln u^v\Rightarrow \ln y=v\ln u$

便捷性在于：
因对数有这些性质， $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b,\ln ab=\ln a+\ln b$ ,把相乘或相除的运算转为相加相减，大大简化求导的复杂度

方法二

把 $u^v$ 转化为 $u^v=e^{\ln u^v}=e^{v\ln u}$,再求导.

引出

草稿