等差数列

引入

假如你刚驶入一公路，离第 $1$ 盏路灯为 $50m$，之后的路灯间隔皆为 $10m$，第 $10$ 盏路灯离你多远？

大部分人很快就可以得出：$s_{10}=50+9\times 10=140m$，归纳一下就可以得到： $s_n=10n+40$.

如果你距离第 $1$ 盏路灯距离为 $x$，路灯间隔为 $m$,第 $n$ 盏路灯离你多远？

从第 $2$ 盏灯后，每增加 $1$ 盏灯距离就增加 $m$，则 $\left(n-1\right)m$，有：

$$s_n=x+\left(n-1\right)m$$

该式子就是一个等差数列通项公式：$\left\{a_n\right\}=a_1+\left(n-1\right)d$

正文

定义

任何相邻两项的差相等的数列

通项公式

$$\left\{a_n\right\}=a_1+\left(n-1\right)d$$

推广

$$a_n=a_m+\left(n-m\right)d$$

等差中项

$$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$$

性质

角标和

$m,n,p,q\in N^{\ast }$，若 $m+n=q+p$，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$

单调性

1. $d>0$，$\left\{a_n\right\}$ 为递增数列
2. $d<0$，$\left\{a_n\right\}$ 为递减数列
3. $d=0$，$\left\{a_n\right\}$ 为常数列

级数 （前 $n$ 项和）

$$\begin{array}{c}{S}_n=n{a}_1+\frac{n\left(n-1\right)}{2}d\\ S_n=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\mathrm{如果}d\mathrm{为}1\end{array}$$

性质

$$\frac{a_n}{b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}$$

推导

设等差数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_n$、$T_n$，则

$$\frac{a_n}{b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}$$

证明思路：等差数列前 $n$ 项和的对称性给出

$$S_{2n-1}=\frac{(2n-1)(a_1+a_{2n-1})}{2}=(2n-1)a_n$$

因为 $a_1+a_{2n-1}=2a_n$（角标和性质：$1+(2n-1)=2n$）。同理 $T_{2n-1}=(2n-1)b_n$。两式相除，$(2n-1)$ 约去即得。

这个结论的用处：把”项的比”转化为”和的比”，不必先求通项。

判定

1. 利用定义：$a_n-a_{n-1}=d$
2. 利用等差中项：$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$
3. 通项符合一次式：$a_n=pn+q$
4. 前 $n$ 项和符合无常数项的二次式：$S_n=A{n}^2+Bn$

第 4 条中的”无常数项”是关键：若 $S_n=A{n}^2+Bn+C$ 且 $C\ne 0$，则 $S_0\ne 0$，但 $S_0$ 按定义为 $0$，矛盾。

判定方法的适用场景

方法	优点	局限
定义法	最直接，适用于递推	需要验证 $n\ge 2$
中项法	不需要求差	只适用于三项相邻
通项形式	一次就可判定	需先猜出通项
求和形式	适用于给 $S_n$ 的题	需注意常数项

做题时的顺序：题目给递推用定义法，给 $S_n$ 用求和形式，给三项关系用中项法。

引出

为什么等差数列的通项是一次函数，前 $n$ 项和是二次函数？

等差中项为什么只有一个，而等比中项有两个？

等差数列的求和公式能否用倒序相加统一推出？

• 数列：数列的基本概念
• 等比数列：乘法结构的对照
• 通项公式：递推转显式的一般方法
• 数列的极限：等差数列的极限
• 二次函数的图像与性质：$S_n$ 的二次结构
• 数学：数学学科入口