等差数列

引入

假如你刚驶入一公路，离第 $1$ 盏路灯为 $50m$，之后的路灯间隔皆为 $10m$，第 $10$ 盏路灯离你多远？

大部分人很快就可以得出：$s_{10}=50+9\times 10=140m$，归纳一下就可以得到： $s_n=10n+40$.

如果你距离第 $1$ 盏路灯距离为 $x$，路灯间隔为 $m$,第 $n$ 盏路灯离你多远？

从第 $2$ 盏灯后，每增加 $1$ 盏灯距离就增加 $m$，则 $\left(n-1\right)m$，有：

$$s_n=x+\left(n-1\right)m$$

该式子就是一个等差数列通项公式：$\left\{a_n\right\}=a_1+\left(n-1\right)d$

正文

定义

任何相邻两项的差相等的数列

通项公式

$$\left\{a_n\right\}=a_1+\left(n-1\right)d$$

推广

$$a_n=a_m+\left(n-m\right)d$$

等差中项

$$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$$

性质

角标和

$m,n,p,q\in N^{\ast }$，若 $m+n=q+p$，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$

单调性

1. $d>0$，$\left\{a_n\right\}$ 为递增数列
2. $d<0$，$\left\{a_n\right\}$ 为递减数列
3. $d=0$，$\left\{a_n\right\}$ 为常数列

级数 （前 $n$ 项和）

$$\begin{array}{c}{S}_n=n{a}_1+\frac{n\left(n-1\right)}{2}d\\ S_n=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\mathrm{如果}d\mathrm{为}1\end{array}$$

性质

$$\frac{a_n}{b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}$$

推导 待完善

判定

1. 利用定义：$a_n-a_{n-1}=d$
2. 利用等差中项：$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$
3. 符合该式子的：$a_n=pn+q$
4. 级数符合该式子的：$S_n=A{n}^2+Bn$