数列

引入

数列和函数有什么区别？为什么说数列是”特殊的函数”？

为什么用 $(-1{)}^n$ 就能构造出正负交替的数列？

数列的下标从 $1$ 开始，这个约定会带来什么问题？

正文

定义

数列是按一定次序排列的一列数。狭义上，它是以正整数集（或其有限子集）为定义域的离散函数： $a_n=f(n),n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

数列与函数的对应

函数概念	数列中的对应
定义域	${\mathbb{N}}^{\ast }$（或它的子集）
自变量	项数 $n$
函数值	第 $n$ 项 $a_n$
图像	一系列孤立的点
值域	数列所有取值构成的集合

“离散”是关键差异：函数的图像通常是连续曲线，数列的图像是一串点，点与点之间没有定义。

表示方法

方法	例子
通项公式	$a_n=2n-1$
递推公式	$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2$
列表	$1,3,5,7,\cdots$
图像	平面上的孤立点

通项公式与递推公式的区别：前者可以直接算第 $100$ 项，后者必须从第一项逐项推。

数列的分类

分类依据	类型
项数	有穷数列、无穷数列
增减性	递增、递减、常数列、摆动数列
有界性	有界数列、无界数列

可以把玩的数列

$(-1{)}^n$ 奇偶数列

利用 $(-1{)}^n$ 构建数列，意味着奇项和偶项的正负不同：

$a_n=(-1{)}^n\cdot n:-1,2,-3,4,-5,\cdots$

这是构造摆动数列最基本的工具。

形式	效果
$(-1{)}^n$	偶数项正，奇数项负
$(-1{)}^{n+1}$	奇数项正，偶数项负
$(-1{)}^n\cdot n$	正负交替且绝对值递增

为什么 $(-1{)}^n$ 能实现交替？ 因为 $(-1{)}^{2k}=1$、$(-1{)}^{2k+1}=-1$，幂的奇偶性正好对应下标的奇偶性。

分奇偶的通项

有些数列需要分段表示：

$a_n=\{\begin{array}{ll}2n-1,& n\text{ 为奇数}\\ 2n,& n\text{ 为偶数}\end{array}$

也可以用 $(-1{)}^n$ 合并成一个式子：

$a_n=n+\frac{1-(-1{)}^n}{2}$

合并的目的是让式子可以用统一的方法处理（如求和、求极限）。

周期数列

若 $a_{n+T}=a_n$，则数列以 $T$ 为周期。例如

$a_n=\sin \frac{n\pi }{2}:1,0,-1,0,1,\cdots$

周期为 $4$。

数列的有界性

概念	定义
有上界	存在 $M$，使 $a_n\le M$ 对所有 $n$ 成立
有下界	存在 $m$，使 $a_n\ge m$
有界	同时有上界和下界

有界是数列收敛的必要条件：收敛数列必有界，但有界数列不一定收敛（如 $(-1{)}^n$）。

前 $n$ 项和

$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$

与通项的关系：

$a_n=\{\begin{array}{ll}{S}_1,& n=1\\ S_n-S_{n-1},& n\ge 2\end{array}$

这个关系是求通项的重要工具，详见 通项公式。

常见误区

错误说法	问题
”数列就是函数”	是定义域为 ${\mathbb{N}}^{\ast }$ 的特殊函数
”数列的图像是连续曲线”	是孤立的点
”有界数列一定收敛”	$(-1{)}^n$ 有界但不收敛
”$a_n=S_n-S_{n-1}$ 对 $n=1$ 成立”	$S_0$ 无定义
”通项公式唯一”	同一数列可有多种表达

引出

为什么收敛数列一定有界，而有界数列不一定收敛？

摆动数列的极限在什么条件下存在？

数列的极限与函数的极限，定义上有何异同？

• 等差数列：最简单的递推结构
• 等比数列：指数增长的结构
• 数列的极限：数列的收敛性
• 通项公式：如何从递推求显式
• 函数：数列的函数视角
• 数学：数学学科入口