自旋

引入

电子没有“自转”，为什么会有角动量？

为什么原子光谱的谱线是双线，而不是单线？

为什么有些粒子可以挤在同一状态，有些不行？

经典角动量来自粒子的旋转运动（$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$）。但实验发现，电子即使不做“旋转运动”，也具有一个固定的角动量。这个内禀角动量就是自旋。

正文

定义

自旋是粒子的内禀角动量，与粒子的空间运动状态无关。电子的自旋量子数 $s=1/2$，是粒子的固有属性。

自旋角动量

大小：

$$S=\hslash \sqrt{s(s+1)}$$

在 $z$ 轴方向的投影：

$$S_z=m_s\hslash ,m_s=-s,-s+1,\dots ,+s$$

对电子，$s=1/2$，所以 $m_s$ 只能取 $+\frac{1}{2}$（自旋向上 $\uparrow$）或 $-\frac{1}{2}$（自旋向下 $\downarrow$）。

自旋的发现

实验	现象	说明
原子光谱精细结构	谱线分裂为双线	存在额外的角动量耦合
斯特恩-格拉赫实验	银原子束在不均匀磁场中分裂为两束	角动量量子化且只有两个取值

斯特恩-格拉赫实验尤其关键：按轨道角动量理论，银原子基态 $l=0$，不应有磁矩，但实验确实分裂为两束。这只能用内禀自旋解释。

不是“自转”

“自旋”这个名字容易误导。它不是电子绕自身轴旋转：

对比	经典自转	量子自旋
来源	物体的转动	内禀属性，与运动无关
数值	可连续变化	固定为 $\hslash \sqrt{s(s+1)}$
速度	可计算转速	若按经典估算，表面速度会超光速

自旋是纯量子性质，没有经典对应物。

费米子与玻色子

按自旋量子数，基本粒子分为两类：

类别	自旋	统计规律	代表粒子	泡利原理
费米子	半整数（$\frac{1}{2},\frac{3}{2},\dots$）	费米-狄拉克统计	电子、质子、中子	服从
玻色子	整数（$0,1,2,\dots$）	玻色-爱因斯坦统计	光子、胶子、希格斯	不服从

费米子遵循泡利不相容原理，玻色子不遵循。这一条区分决定了物质的结构和力的传递方式。

复合粒子的自旋由成分决定：质子、中子由三个夸克组成，总自旋为 $1/2$，所以也是费米子；氦-4 由两个质子、两个中子、两个电子组成，总自旋为整数，是玻色子。

自旋与化学

应用	说明
NMR 原理	原子核的自旋（${}^1\mathrm{H}$、${}^{13}\mathrm{C}$、${}^{19}\mathrm{F}$ 自旋 $1/2$）在磁场中分裂，射频激发产生核磁共振信号
顺磁性	含未成对电子的分子有净自旋，表现为顺磁性
自旋-轨道耦合	影响重元素的光谱和化学性质
自由基反应	自旋守恒影响反应能否发生

氧分子 $\mathrm{O}{}_2$ 是顺磁性的，因为基态有两个未成对电子。这也是液氧能被磁铁吸引的原因。

常见误区

错误说法	问题
“自旋是电子在自转”	是内禀属性，没有经典对应
“自旋可以取任意方向”	只有两个取值（对 $s=1/2$）
“所有粒子都有自旋”	所有基本粒子都有，但取值不同
“自旋与化学无关”	决定电子排布、磁性和 NMR

引出

自旋决定了粒子遵循的统计规律，进而决定了多电子原子的电子排布方式。泡利不相容原理正是基于费米子的自旋性质。

为什么电子自旋的 $g$ 因子约为 2？这需要量子电动力学的修正。

自旋-轨道耦合如何解释重元素的颜色和磁性？