磁感应强度

引入

为什么指南针总是指向南北？

为什么通电导线周围的小磁针会偏转？

为什么磁场线总是闭合的，而电场线有起点和终点？

电场描述电荷之间的作用，但运动电荷（电流）之间还存在另一种力——磁力。描述这种力的场就是磁场。指南针、电动机、MRI 都源于它。

正文

定义

磁感应强度 $\vec{B}$ 是描述磁场强弱和方向的物理量，单位特斯拉（$\mathrm{T}$）。它通过运动电荷所受的洛伦兹力定义。

定义方式

电荷 $q$ 以速度 $\vec{v}$ 通过磁场 $\vec{B}$ 时受到的磁力：

$$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$$

力的大小 $F=qvB\sin \theta$，方向由右手定则确定。

由此定义：$B$ 的大小等于单位电荷以单位速度垂直穿过磁场时受到的力。

磁感应强度的来源

磁场由运动电荷（电流）产生。电流元 $I\mathrm{d}\vec{l}$ 在空间某点产生的磁场由毕奥-萨伐尔定律给出：

$$\mathrm{d}\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$$

其中 ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$ 是真空磁导率。

常见磁场的 $B$ 值

磁场源	$B$ 的大致量级
地磁场	$\sim 5\times 10^{-5}\mathrm{T}$
普通磁铁	$\sim 0.01$–$0.1\mathrm{T}$
NMR 超导磁体	$1$–$25\mathrm{T}$
中子星表面	$\sim 10^8\mathrm{T}$

磁感应线

磁感应线是闭合曲线，不像电场线有起点和终点。这反映了磁场的无源性：不存在磁单极子。

$$\nabla \cdot \vec{B}=0$$

磁感应线的特征：

特征	说明
闭合	无起点无终点
切线方向	该点磁场方向
疏密	反映磁场强弱
不相交	同一点只有一个磁场方向

磁通量

通过某面积的磁通量：

$${\Phi }_B=\int \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$$

匀强磁场中，若面积与磁场垂直：

$${\Phi }_B=BS$$

单位韦伯（$\mathrm{Wb}$），$1\mathrm{Wb}=1\mathrm{T}\cdot {\mathrm{m}}^2$。

磁通量是电磁感应的核心量，详见法拉第电磁感应定律。

安培力

载流导线在磁场中受到的力称为安培力，是洛伦兹力的宏观表现：

$$\vec{F}=I\vec{L}\times \vec{B}$$

大小为 $F=BIL\sin \theta$，方向由左手定则确定。

情形	受力
电流与磁场平行	$0$
电流与磁场垂直	$F=BIL$
电流与磁场成角 $\theta$	$F=BIL\sin \theta$

载流线圈在磁场中的力矩：矩形线圈通电流置于磁场中，两侧边受力方向相反，形成力偶：

$$M=NBIS\cos \theta$$

其中 $N$ 为匝数，$S$ 为线圈面积，$\theta$ 为线圈平面与磁场的夹角。这是电动机转动的原理。

安培力做功：导线在磁场中移动时

$$W=BIL\Delta x=BI\Delta S=I\Delta {\Phi }_B$$

这个关系在电磁感应和电动机分析中常用。

与电场的对比

项目	电场	磁场
源	电荷	运动电荷（电流）
场线	起于正电荷，止于负电荷	闭合曲线
高斯定理	$\oint \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=Q/{ϵ}_0$	$\oint \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=0$
是否保守	静电场保守	非保守（有旋）
对静止电荷	有力	无力

物质的磁化

物质放入磁场后会产生附加磁场，按响应方式分为三类：

类型	机制	相对磁导率 ${\mu }_r$	例子
顺磁性	有未成对电子，磁矩部分取向	略大于 1	$\mathrm{O}{}_2$、$\mathrm{Al}$
抗磁性	电子轨道受感应，产生反向磁矩	略小于 1	$\mathrm{Cu}$、水
铁磁性	磁畴有序排列，强磁化	远大于 1	$\mathrm{Fe}$、$\mathrm{Co}$、$\mathrm{Ni}$

介质中的磁感应强度：

$$B={\mu }_r{B}_0$$

顺磁和抗磁效应都很弱（约 $10^{-5}$ 量级），铁磁效应可以强几个数量级。铁磁性来自磁畴：原子磁矩在自发磁化区域内同向排列。

与化学的关联

• 核磁共振原理：NMR 需要强而均匀的磁场（$B>1\mathrm{T}$），磁场越强分辨率越高。
• 顺磁性和抗磁性：分子中电子的轨道运动和自旋在外磁场中的响应。$\mathrm{O}{}_2$ 因有两个未成对电子而呈顺磁性。

引出

磁场对运动电荷的力就是洛伦兹力。

磁场的环路规律由安培环路定理描述。

为什么不存在磁单极子？

铁磁体为什么会有“磁饱和”现象？