理想气体状态方程

引入

为什么给轮胎打气时，压得越狠温度越高？

为什么高压钢瓶里的气体不能用 $p V = n RT$ 精确计算？

为什么夏天车胎气压会自己升高？

气体的压强、体积、温度之间不是独立的。大量实验总结出的经验规律，最后被统一成一个简洁的方程。但“理想”二字说明它有前提，超出范围就要修正。

定义

理想气体状态方程描述理想气体（分子本身无体积、分子间无相互作用）的压强 $p$ 、体积 $V$ 、物质的量 $n$ 和温度 $T$ 之间的关系： $p V = n RT$ 其中 $R = 8.314 J/ (mol \cdot K)$ 是普适气体常量。

四条定律各管一种情形，状态方程把它们合并成一个式子，任意两个量变化时都能直接算。

从分子动理论出发，压强来自分子对器壁的碰撞：

p = \frac{1}{3} n m_{0} \overline{v^{2}} = \frac{2}{3} n \overline{E_{k}}

其中 $n$ 是分子数密度， $m_{0}$ 是单个分子质量。

结合温度与平均动能的关系：

\overline{E_{k}} = \frac{3}{2} k T

代入得：

p = \frac{2}{3} n \cdot \frac{3}{2} k T = nk T

再由 $n = N / V$ 、 $N = n_{m o l} N_{A}$ 、 $R = N_{A} k$ ，得到 $p V = n RT$ 。

这个推导说明：温度的本质是分子平均平动动能，压强是这种运动的宏观表现。

理想气体分子间无相互作用，内能只包含动能，因而只与温度有关：

U = \frac{f}{2} n_{m o l} RT

这就是能量按自由度均分定理。关键推论：理想气体的内能与体积、压强无关，只与温度有关。这个结论在等温过程 $Δ U = 0$ 中被直接使用。

真实气体分子有体积、有相互作用，偏离理想方程。范德瓦耳斯方程是最常见的修正：

(p + \frac{a}{V _{m}^{2}}) (V_{m} - b) = RT

参数	修正对象	物理含义
$a$	压强	分子间引力使实际压强小于理想值
$b$	体积	分子自身体积使可压缩空间减小

在化学中，范德瓦耳斯参数与分子间作用力的大小直接相关。 $a$ 越大的气体越容易被液化。

常温常压下的多数气体可以用理想方程近似，误差在百分之几以内。高压钢瓶、低温实验则必须修正。

理想气体方程中的物质的量 $n$ 连接了宏观量与微观粒子数（ $N = n N_{A}$ ）。物质的量这个概念是化学和物理之间的重要桥梁。

真实气体的行为在高压低温下偏离更明显，这与分子间作用力和分子体积有关。

为什么临界温度以上的气体无论加多大压强都不能液化？