单摆

引入

为什么摆钟的周期只跟摆长有关，跟摆锤质量无关？

为什么单摆只有在摆角很小时才能当成简谐振动？

把单摆搬到月球上，周期会怎么变？

单摆是把简谐振动理论用到具体装置上的第一个例子。它的价值在于：从一个看似普通的“绳+球”，能直接推出周期公式，也能清楚看到“小角度近似”这个前提的重要性。

正文

定义

单摆由一根不可伸长的细绳和一个质量均匀的小球组成，细绳质量忽略不计。小角度单摆要求最高点速度为零，摆角满足 $\theta \le 5^{\circ }$。

受力分析

摆球受两个力：重力 $mg$ 和绳的拉力 $F_T$。

把重力沿切线方向和法线方向分解：

• 切向分量：$mg\sin \theta$，方向总是指向平衡位置
• 法向分量：$mg\cos \theta$，与拉力共同提供向心力

切向分量就是回复力：

$$F=-mg\sin \theta$$

负号表示方向与位移（角度）相反。

为什么需要小角度近似

$F=-mg\sin \theta$ 与 $\theta$ 不成正比，所以严格来说单摆不是简谐振动。

当 $\theta$ 很小时，$\sin \theta \approx \theta$（弧度制），于是

$$F\approx -mg\theta$$

这才是 $F=-kx$ 的形式。没有这一步近似，就没有简谐振动，也就没有下面的周期公式。

误差量级：$\theta =5^{\circ }$ 时，$\sin \theta$ 与 $\theta$ 相差约 $0.13\%$；$\theta =10^{\circ }$ 时约 $0.5\%$；$\theta =30^{\circ }$ 时约 $4.5\%$。角度越大，单摆越偏离简谐振动。

周期公式

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

其中 $l$ 是摆长（悬点到摆球球心的距离），$g$ 是重力加速度。

推导

由牛顿第二定律和切向加速度：

$$\begin{array}{c}F=ma\\ m{l}^2\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{t}^2}=-mgl\sin \theta \\ l\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{t}^2}+g\sin \theta =0\end{array}$$

当 $\theta \le 5^{\circ }$ 时，$\sin \theta \approx \theta$：

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{g}{l}\theta =0$$

这是简谐振动的标准形式，对应

$$\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}$$

于是

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

结论的含义

因素	对周期的影响
摆长 $l$ 增大	周期变长，$T\propto \sqrt{l}$
重力加速度 $g$ 增大	周期变短，$T\propto 1/\sqrt{g}$
摆球质量 $m$	无影响
小角度内的振幅	近似无影响（等时性）

质量不出现在周期公式里，是因为回复力和惯性都正比于质量，两者抵消。这也是伽利略发现“摆的等时性”的依据。

常见误区

错误说法	问题
“单摆是简谐振动”	只有小角度近似下才是
“摆角越大周期越小”	实际摆角越大周期越长，只是偏差较小
“摆长是绳长”	应为悬点到球心的距离

引出

把单摆放到电梯里加速上升，周期会怎么变？

摆角较大时，周期如何修正？为什么需要椭圆积分？

阻尼和受迫振动如何改变单摆的响应？