洛伦兹力

引入

为什么带电粒子在磁场中做圆周运动，而不是直线运动？

为什么磁场力不做功，却能让粒子加速？

极光为什么出现在两极附近？

静止电荷只受电场力，但运动电荷在磁场中还会受到一种特殊的力——洛伦兹力。它始终垂直于运动方向，所以不做功，却能改变粒子的运动轨迹。

正文

定义

洛伦兹力是运动电荷在电磁场中受到的力： $\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$

其中 $q\vec{E}$ 是电场力，$q\vec{v}\times \vec{B}$ 是磁场力。

纯磁场中的运动

只有磁场时，洛伦兹力始终垂直于速度方向：

• 力不做功（$W=\vec{F}\cdot \vec{v}=0$），动能不变。
• 只改变速度方向，不改变速度大小。

垂直入射（$\vec{v}\perp \vec{B}$）：粒子做匀速圆周运动。

$$r=\frac{mv}{qB},T=\frac{2\pi m}{qB}$$

回旋周期 $T$ 与速度无关，这是回旋加速器的原理基础。

平行入射（$\vec{v}\parallel \vec{B}$）：不受磁力，做匀速直线运动。

斜入射：分解为垂直分量（圆周运动）和平行分量（匀速直线），合成为螺旋线运动。

半径与周期的含义

量	表达式	与什么有关
半径	$r=mv/(qB)$	速度越大半径越大，磁场越强半径越小
周期	$T=2\pi m/(qB)$	与速度无关，只与荷质比和磁场有关
频率	$f=qB/(2\pi m)$	回旋频率

周期与速度无关这一点很反直觉，但正是它使回旋加速器能够用固定频率的电场持续加速粒子。

电磁场同时存在

$$\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$$

速度选择器：让 $\vec{E}$ 和 $\vec{B}$ 互相垂直，只有满足

$$v=\frac{E}{B}$$

的粒子才能直线通过（电场力与磁力抵消）。

这个装置不区分粒子的质量或电荷，只看速度，所以叫“速度选择器”。

霍尔效应

导体中通电流，外加垂直磁场，载流子受洛伦兹力偏转，在导体两侧积累电荷，产生横向电场（霍尔电压）：

$$V_H=\frac{IB}{nqt}$$

量	含义
$I$	电流
$B$	磁感应强度
$n$	载流子数密度
$q$	载流子电荷量
$t$	导体厚度

霍尔电压的正负可以判断载流子的正负，是半导体表征的重要方法。

与安培力的关系

宏观上，载流导线在磁场中受力：

$$\vec{F}=I\vec{L}\times \vec{B}$$

这是洛伦兹力的宏观表现。导线中大量定向移动的电荷各自受洛伦兹力，合起来就是安培力。

化学相关

• 质谱仪：离子在磁场中偏转，半径与质荷比 $m/q$ 相关，用于有机物研究方法中的质谱分析。
• 磁控溅射：利用洛伦兹力约束等离子体，用于薄膜沉积。

引出

洛伦兹力的宏观形式就是安培力（载流导线在磁场中受力）。

磁场的环路规律见安培环路定理。

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