安培环路定理

引入

静电场有高斯定理，通过闭合曲面的电通量与内部电荷有关。磁场有类似的定理吗？

为什么穿过闭合回路的磁场环流只与回路包围的电流有关？

为什么安培环路定理需要麦克斯韦修正？

安培环路定理是磁场的高斯定理的“对称伙伴”：一个说磁通量的来源为零，一个说磁场的环流来源是电流。

正文

定义

安培环路定理：磁场沿任意闭合回路的环流，等于穿过该回路所包围面积的电流的代数和乘以 ${\mu }_0$： $\oint \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{l}={\mu }_0\sum I$

电流的正负号

电流的方向由右手定则判断：右手四指沿回路绕行方向弯曲，拇指所指为电流正方向。与拇指同向的电流取正，反向取负。

物理意义

这个定理说明磁场是有旋场（非保守场），旋度来源是电流。与电场的高斯定理对比：

	电场	磁场
通量定理	$\oint \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=Q/{ϵ}_0$	$\oint \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=0$（无磁单极）
环路定理	$\oint \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=0$（静电场保守）	$\oint \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{l}={\mu }_{0}I$（有旋）

电场的高斯定理找“源”，磁场的环路定理找“旋”。这是两类场最本质的区别。

利用安培环路定理求磁场

对具有对称性的电流分布，可以方便地求出磁场：

电流分布	磁场
无限长直导线	$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$
无限长螺线管内部	$B={\mu }_{0}nI$（$n$ 为单位长度匝数）
环形螺线管内部	$B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$

使用步骤：

1. 判断电流分布的对称性
2. 选取合适的闭合回路（安培环路）
3. 使 B 在回路上大小恒定、方向与回路平行或垂直
4. 计算环流，等于 μ₀ × 包围电流
5. 解出 B

关键技巧是选回路。回路选得好，积分可以化简为 $B\cdot L$。

修正形式

麦克斯韦指出，变化的电场也产生磁场（位移电流），完整的安培环路定理应修正为：

$$\oint \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{l}={\mu }_0\left(I+{ϵ}_0\frac{\mathrm{d}{\Phi }_E}{\mathrm{d}t}\right)$$

位移电流项 ${ϵ}_0\frac{\mathrm{d}{\Phi }_E}{\mathrm{d}t}$ 是麦克斯韦方程组的关键修正，它保证了电荷守恒，也预言了电磁波。

与毕奥-萨伐尔定律的关系

方法	适用	优点	局限
毕奥-萨伐尔定律	任意电流分布	通用	积分复杂
安培环路定理	高对称性分布	计算简单	只适用于对称情形

两者本质等价，选择哪个取决于问题的对称性。

引出

安培环路定理是分析磁场分布的有力工具。变化磁场产生电场的规律由法拉第电磁感应定律描述。

磁场与电场共同构成了完整的麦克斯韦方程组。

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