圆与方程

引入

圆是到定点距离等于定长的点的集合，这个定义如何变成一个方程？

为什么判断直线与圆的位置关系，可以只比较圆心到直线的距离与半径？

弦长公式里为什么会出现 $\sqrt{1+k^2}$？

圆是解析几何中第一个二次曲线。它的方程形式简单，但已经涉及”判别式”和”几何条件”两种思路的分工，这套分工在圆锥曲线中会反复出现。

正文

定义

平面内到定点 $C$ 的距离等于定长 $r$ 的点的集合称为圆，$C$ 为圆心，$r$ 为半径。

标准方程

以 $C(a,b)$ 为圆心、$r$ 为半径：

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

圆心在原点时为 $x^2+y^2=r^2$。

一般方程

$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$

配方得

${\left(x+\frac{D}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{E}{2}\right)}^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}$

条件	图形
$D^2+E^2-4F>0$	圆，圆心 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$，$r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$
$D^2+E^2-4F=0$	一个点
$D^2+E^2-4F<0$	不表示任何图形

一般方程能表示圆的前提是 $x^2$ 与 $y^2$ 系数相等且无 $xy$ 项。题目给出含参数的方程时，先检验这两个条件。

直线与圆的位置关系

判定

设圆心到直线的距离为 $d$，半径为 $r$，则

• $d<r$：相交，两个交点
• $d=r$：相切，一个交点
• $d>r$：相离，无交点

几何法（比较 $d$ 与 $r$）优于代数法（判别式 $\Delta$）：几何法只需算一个距离，代数法要联立、消元、算判别式，计算量大且容易出错。

方法	步骤	适用
几何法	求圆心到直线距离，比较 $r$	首选
代数法	联立消元，判断 $\Delta$	需要求交点坐标时

弦长公式

直线与圆相交于 $A$、$B$，则

$|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$

这是”半径、弦心距、半弦”构成直角三角形的结果。

若用交点坐标计算，设直线 $y=kx+m$：

$|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{\sqrt{\Delta }}{|a|}$

$\sqrt{1+k^2}$ 的来源：两点间距离为 $\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$，而 $y_1-y_2=k(x_1-x_2)$，代入得 $\sqrt{(1+k^2)(x_1-x_2{)}^2}$。

圆与圆的位置关系

设两圆半径 $r_1$、$r_2$，圆心距 $d$：

关系	条件	公切线条数
外离	$d>r_1+r_2$	4
外切	$d=r_1+r_2$	3
相交	$	r_{1}-r_{2}
内切	$d=	r_{1}-r_{2}
内含	$d<	r_{1}-r_{2}

公切线条数可以作为快速判断的辅助：给出公切线条数，就能反推位置关系。

公共弦

两圆相交时，公共弦所在直线由两圆方程相减得到：

$(x^2+y^2+D_{1}x+E_{1}y+F_1)-(x^2+y^2+D_{2}x+E_{2}y+F_2)=0$

二次项相消，剩下一元一次方程，即公共弦所在直线。这个方法叫作差法，比联立求解快得多。

由公共弦长同样可用 $2\sqrt{r^2-d^2}$，其中 $d$ 是圆心到公共弦的距离。

圆的切线

情形	求法
过圆上一点	切线垂直于该点半径，用点斜式
过圆外一点	设切线斜率，用 $d=r$ 求；注意斜率不存在的情况
已知切线斜率	设 $y=kx+b$，用 $d=r$ 求 $b$

过圆外一点的切线必有两条，若只解出一个斜率，说明另一条是垂直直线，需补上 $x=x_0$。

常见误区

错误说法	问题
”一般方程一定是圆”	需 $D^2+E^2-4F>0$
“判断位置关系用判别式更快”	几何法更快更稳
”弦长公式里的 $d$ 是圆心到弦端点的距离”	是圆心到弦所在直线的距离
”两圆方程相减得到交点”	得到的是公共弦所在直线
”过圆外一点只有一条切线”	有两条，注意垂直线遗漏

引出

为什么一般方程表示圆需要 $x^2$、$y^2$ 系数相等？

把圆换成椭圆，$d$ 与 $r$ 的比较还能用吗？

圆的参数方程与三角函数的单位圆定义是什么关系？

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