二项分布与超几何分布

引入

从一批产品中抽 $10$ 件检查，抽到次品的件数服从什么分布？

为什么”有放回”和”无放回”要用两个不同的分布？

当总数很大时，超几何分布能不能近似成二项分布？

二项分布和超几何分布描述的是同一类现象——”$n$ 次试验中成功多少次”，区别只在于每次试验是否独立。

正文

定义（二项分布）

在 $n$ 次独立重复试验中，每次成功的概率为 $p$，则成功次数 $X$ 服从二项分布，记作 $X\sim B(n,p)$： $P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\cdots ,n$

三个条件

条件	含义
试验次数固定	$n$ 确定
每次独立	前一次结果不影响后一次
成功概率恒定	每次都是 $p$

三个条件缺一不可。若”成功概率”会随试验改变（如无放回抽样），就不再是二项分布。

公式的构成

$P(X=k)=\underset{\text{选位置}}{\underbrace{C_n^k}}\cdot \underset{\text{成功}}{\underbrace{p^k}}\cdot \underset{\text{失败}}{\underbrace{(1-p{)}^{n-k}}}$

三部分各有含义：先决定 $k$ 次成功出现在哪 $k$ 次，再乘上对应的概率。若漏掉 $C_n^k$，就只算了”前 $k$ 次成功”这一种情况。

超几何分布

定义

从含有 $M$ 个”成功”元素的 $N$ 个元素中，不放回地抽取 $n$ 个，其中成功元素的个数 $X$ 服从超几何分布： $P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$

部分	含义
$C_M^k$	从 $M$ 个成功元素中取 $k$ 个
$C_{N-M}^{n-k}$	从剩余元素中取 $n-k$ 个
$C_N^n$	总的取法

两者的对照

项目	二项分布	超几何分布
抽样方式	有放回	无放回
各次试验	独立	不独立
成功概率	恒定 $p$	逐次变化
参数	$n$、$p$	$N$、$M$、$n$
$E(X)$	$np$	$n\frac{M}{N}$
$D(X)$	$np(1-p)$	$n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}$

超几何分布的方差多了一个修正因子 $\frac{N-n}{N-1}$，它小于 $1$，所以超几何分布的方差更小。直觉上：不放回抽样减少了随机性，因为每抽走一个，剩余总体的构成就更确定。

近似关系

当 $N$ 很大而 $n$ 相对很小时，

$\frac{N-n}{N-1}\approx 1$

超几何分布近似为二项分布，其中 $p=\frac{M}{N}$。

条件	近似效果
$n\ll N$（通常 $n/N<0.1$）	很好
$n$ 接近 $N$	很差，必须用超几何

实际意义：从大批产品中抽检少量样品时，可以按二项分布计算，因为抽走几件对总体比例影响极小。

判断用哪个分布

题目特征	分布
”有放回”、“每次概率相同”	二项
”不放回”、“从 $N$ 个中抽 $n$ 个”	超几何
”独立重复试验”	二项
总体很大、抽样比例很小	二项近似

常见误区

错误说法	问题
”不放回也可以用二项分布”	除非 $n\ll N$
“二项分布公式不用乘 $C_n^k$“	漏掉了位置的选择
”超几何分布的期望不是 $np$“	写成 $n\frac{M}{N}$，形式与 $np$ 一致
”两种分布方差相同”	超几何多一个小于 $1$ 的因子
”$p$ 在超几何分布中恒定”	逐次变化

引出

为什么超几何分布的方差更小？

当 $n\to \infty$ 且 $p$ 固定时，二项分布会趋近什么分布？

多项分布是二项分布的什么推广？

• 离散型随机变量：期望与方差
• 随机事件与概率：组合计数的应用
• 条件概率与全概率公式：不放回抽样的条件化
• 正态分布：二项分布的极限
• 排列与组合：组合数计算
• 数学：数学学科入口