离散型随机变量

引入

掷骰子的结果是随机的，为什么可以说它的”平均点数”是 $3.5$？

期望和算术平均数是一回事吗？

为什么方差要平方？不平方不行吗？

随机变量把”事件”映射成”数”，从此可以用数值方法研究随机现象：求平均、求离散程度、求分布规律。

正文

定义

若随机试验的每个结果 $\omega$ 都对应一个实数 $X(\omega )$，则称 $X$ 为随机变量。若 $X$ 的取值可以一一列举，则称为离散型随机变量。

分布列

离散型随机变量 $X$ 的所有取值 $x_i$ 及其概率 $p_i$ 构成分布列：

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

必须满足：

$p_i\ge 0,{\sum }_{i=1}^n{p}_i=1$

第二条是最常用的检验手段：算完分布列后加一遍，若不为 $1$，说明漏了情况或算错了。

数学期望

定义

$E(X)={\sum }_{i=1}^n{x}_i{p}_i$

期望是加权平均，权重是各取值的概率。

性质	式子
常数	$E(C)=C$
数乘	$E(aX)=aE(X)$
加法	$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
线性	$E(aX+b)=aE(X)+b$
独立时乘积	$X$、$Y$ 独立 $\Rightarrow E(XY)=E(X)E(Y)$

期望的线性性不需要独立性，这是它最实用的性质：即使变量相关，$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ 仍然成立。

方差

定义

$D(X)=E\left[(X-E(X){)}^2\right]=E(X^2)-{\left[E(X)\right]}^2$

标准差 $\sigma (X)=\sqrt{D(X)}$。

为什么要平方？ 因为偏差 $X-E(X)$ 有正有负，直接求平均会互相抵消为 $0$。平方消除符号，再加权平均，得到”偏离程度的平方的平均”。开方后回到原来的量纲。

性质	式子
常数	$D(C)=0$
数乘	$D(aX)=a^{2}D(X)$
平移	$D(X+b)=D(X)$
线性	$D(aX+b)=a^{2}D(X)$

注意 $D(aX)=a^{2}D(X)$ 而不是 $aD(X)$：方差是平方量纲，系数要平方。

期望与方差的计算顺序

$D(X)=E(X^2)-{\left[E(X)\right]}^2$

计算时先求 $E(X)$，再求 $E(X^2)$（把每个取值平方后加权），最后相减。

这个公式比定义式更好用，因为不需要先算每个偏差再平方。

常见分布的期望与方差

分布	$E(X)$	$D(X)$
两点分布 $B(1,p)$	$p$	$p(1-p)$
二项分布 $B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
超几何分布	$n\frac{M}{N}$	$n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}$

二项分布的期望可以直接理解：$n$ 次试验，每次成功概率 $p$，平均成功 $np$ 次。

期望的实际意义与局限

场景	期望的作用	局限
保险定价	平均赔付	不反映极端风险
投资决策	平均收益	不反映波动
游戏设计	平均收益	玩家可能在期望为正时仍亏损

只有期望不够。两个方案期望相同，方差大的风险更高。决策时必须同时看期望和方差。

常见误区

错误说法	问题
”期望就是最可能的值”	期望可能不取任何实际值
”$E(XY)=E(X)E(Y)$ 总成立”	需独立
"$D(aX)=aD(X)$"	是 $a^{2}D(X)$
“方差越大越好或越坏”	取决于场景，风险厌恶时越小越好
”期望相同的方案等价”	方差可能差异巨大

引出

为什么期望的线性性不需要独立性，而乘积的期望需要？

二项分布与超几何分布的差异，本质是”有放回”与”无放回”吗？

当试验次数趋于无穷时，二项分布会变成什么？

• 随机事件与概率：概率的公理化基础
• 条件概率与全概率公式：条件分布
• 二项分布与超几何分布：两种典型分布
• 正态分布：连续型的极限形态
• 应用数学：应用数学的整体框架
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