随机抽样

引入

要了解全国人口的平均身高，不可能每个人都量一次。抽多少人、怎么抽，才能让结果可信？

为什么”在火车站随机采访”不是一个好的抽样方法？

分层抽样为什么能比简单随机抽样更准？

正文

定义

全面调查（普查）对总体中每个个体都进行调查。抽样调查只抽取一部分个体，用样本推断总体。

概念	定义
总体	研究对象的全体
个体	总体中的每个对象
样本	抽出的部分个体
样本容量	样本中个体的数量

为什么用抽样

调查方式	优点	缺点
普查	结果准确	成本高、周期长
抽样	成本低、速度快	有抽样误差

普查也有误差：人口普查中的漏登、错报同样是误差来源。“普查准确”只是相对抽样而言。

简单随机抽样

定义

从总体中逐个不放回地抽取，且每个个体被抽到的机会相等，称为简单随机抽样。

方法	做法
抽签法	编号后随机抽取
随机数法	用随机数表或随机数生成器

两个必要条件：

条件	含义
等可能性	每个个体被抽到的概率相同
不放回	避免重复抽取同一个个体的可能

放回与不放回的区别：放回抽样中各次抽取独立，对应二项分布；不放回对应超几何分布。高考中”简单随机抽样”通常指不放回。

分层抽样

定义

将总体按某种特征分成若干层，在各层中按比例独立抽取，称为分层抽样。

$\text{第 }i\text{ 层抽取数}=\frac{\text{第 }i\text{ 层个体数}}{\text{总体容量}}\times \text{样本容量}$

步骤	操作
1	按特征分层（如年龄、地区）
2	计算各层应抽数量
3	在各层内做简单随机抽样

为什么分层更准？ 因为分层降低了层内差异。若层间差异大、层内差异小，分层抽样的误差会显著小于简单随机抽样。

系统抽样

将总体编号后，按固定间隔抽取。例如从 $1000$ 人中抽 $50$ 人，间隔为 $20$，在 $1\sim 20$ 中随机取一个起点，之后每 $20$ 个取一个。

特点	说明
优点	操作简单，样本分布均匀
风险	若总体存在周期性，可能产生系统偏差

抽样方法的对比

方法	适用	优点	风险
简单随机	总体小、差异小	理论最基础	大总体操作困难
分层	层间差异大	精度高	需要分层信息
系统	总体有序	操作简便	周期性偏差

常见偏差

偏差类型	例子	问题
便利抽样	在火车站采访	只覆盖出行人群
自愿响应	网络投票	参与者有自我选择偏差
幸存者偏差	只调查成功企业	忽略失败案例
无应答偏差	问卷回收率低	未回答者可能与回答者不同

这些偏差无法通过增大样本量消除。样本量只能减小随机误差，不能修正系统性偏差。这是抽样调查最重要的原则。

样本量的影响

样本量	随机误差	成本
小	大	低
大	小（按 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 减小）	高

要让误差减半，样本量需要变成 $4$ 倍。这个关系决定了调查预算的分配。

常见误区

错误说法	问题
”样本越大越准”	前提是抽样无偏
”随机抽样就是随便抽”	必须保证等可能性
”分层抽样每层抽相同数量”	按比例抽，不是等额
”普查没有误差”	有登记误差
”网络投票能反映民意”	存在自愿响应偏差

引出

为什么样本量增大不能消除系统性偏差？

分层抽样中各层内部还需要随机吗？

系统抽样的周期性风险如何检验和避免？

• 用样本估计总体：如何用样本推断总体
• 随机事件与概率：等可能性的概率基础
• 正态分布：样本均值的分布
• 应用数学：应用数学的整体框架
• 数学：数学学科入口