欧拉公式

引入

很早就听过欧拉公式的大名，其中最有意义的还是欧拉恒等式，又名为上帝公式。

当 $x=\pi$ 时，有：$e^{i\pi }+1=0$

为什么五个最基本的常数 $e$、$i$、$\pi$、$1$、$0$ 会出现在同一个式子里？

正文

定义

对于任意实数 $x$，都有 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 当 $x=\pi$ 时得到欧拉恒等式：$e^{i\pi }+1=0$。

证明

根据泰勒级数与复数的定义，将 $ix$ 代入 $e^x$ 的展开式：

$$\begin{array}{rl}{e}^{ix}& =1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\cdots +\frac{(ix{)}^n}{n!}+\cdots \\ \because i^2& =-1\\ \therefore e^{ix}& =\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \right)+i\left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \right)\end{array}$$

括号里的恰好是 $\cos x$ 和 $\sin x$ 的泰勒级数展开式，则

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

证明的关键在于”实部与虚部分别凑成级数”。这不是巧合：$i^2=-1$ 使偶次项变号，正好对应 $\cos$ 的交替符号；奇次项保留 $i$，正好对应 $\sin$。

为什么叫”上帝公式”

欧拉恒等式

$e^{i\pi }+1=0$

把五个最基本的数学常数连在一起：

常数	来源	领域
$e$	$\lim {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$	分析
$i$	$i^2=-1$	代数
$\pi$	圆周长与直径之比	几何
$1$	乘法单位元	代数
$0$	加法单位元	代数

它的意义不在于”美”，而在于”跨领域”：分析、代数、几何三个分支的常数，由一条公式连接。

复数的指数形式

由欧拉公式，任意复数可写成

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r{e}^{i\theta }$

形式	表达式
代数	$a+bi$
三角	$r(\cos \theta +i\sin \theta )$
指数	$r{e}^{i\theta }$

指数形式让乘除变成指数加减：

$z_1{z}_2=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$

推导出的重要结论

三角恒等式

由 $e^{i(\alpha +\beta )}=e^{i\alpha }{e}^{i\beta }$ 展开两边：

$\cos (\alpha +\beta )+i\sin (\alpha +\beta )=(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )$

比较实部虚部即得和角公式。整个三角恒等式体系都可以由欧拉公式推出。

倍角公式

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$

这是棣莫弗定理，由 $(e^{i\theta }{)}^n=e^{in\theta }$ 直接得到。

三角函数的指数表示

$\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2},\sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$

这两个式子是三角函数的复数定义的起点。

几何意义

$e^{i\theta }$ 是复平面上单位圆上的点，$\theta$ 是它与实轴正方向的夹角。

值	复平面位置
$e^{i\cdot 0}=1$	$(1,0)$
$e^{i\pi /2}=i$	$(0,1)$
$e^{i\pi }=-1$	$(-1,0)$
$e^{i3\pi /2}=-i$	$(0,-1)$

乘以 $e^{i\theta }$ 相当于逆时针旋转 $\theta$。这个性质使复数成为描述旋转与振动的自然工具。

应用

领域	用途
交流电	用 $e^{i\omega t}$ 表示正弦信号
信号处理	傅里叶变换
量子力学	波函数
微分方程	$y^{\prime \prime }+y=0$ 的解
控制理论	传递函数

核心优势：把”三角函数运算”转化为”指数运算”，乘除变加减，微分变乘法。

常见误区

错误说法	问题
”欧拉公式是人为规定的”	由泰勒级数推出
"$e^{i\pi }=1$"	是 $-1$
“欧拉公式只对实数 $x$ 成立”	对复数也成立
”它只是一个漂亮的等式”	是大量计算的工具
”$e^{i\theta }$ 与 $\cos \theta$ 无关”	实部就是 $\cos \theta$

引出

为什么 $i^2=-1$ 能让泰勒级数自动分成 $\cos$ 与 $\sin$ 两部分？

复指数与旋转矩阵是同一件事吗？

欧拉公式在傅里叶变换中如何起作用？

• 泰勒级数：证明的基础
• 复数：复数的表示
• 复数的三角表示：指数形式的另一视角
• 三角函数的复数定义：由欧拉公式导出
• 三角恒等式：可由欧拉公式证明
• 数学分析：数学分析的整体框架