简谐振动的运动方程

引入

已知 $F=-kx$，为什么解出来一定是余弦函数？

振幅、相位这些量是从哪冒出来的，它们对应初始条件吗？

为什么二阶微分方程会解出两个常数，而不是一个？

动力学方程由受力直接得到，但要把“加速度与位移成正比”翻译成“位移随时间按余弦变化”，需要解一个二阶线性微分方程。这一步是振动理论里唯一需要数学技巧的地方。

正文

定义

做简谐振动的质点，位移随时间的变化为 $x=A\cos (\omega t+\phi )$

三个参数的含义：

• $A$ 为振幅，反映运动范围，即偏离平衡位置的最大距离。
• $\omega =\sqrt{k/m}$ 为圆频率，反映振动的快慢。
• $\phi$ 为初相位，决定 $t=0$ 时质点所处的位置和运动方向。

对位移逐次求导：

$$\begin{array}{rl}x& =A\cos (\omega t+\phi )\\ v& =\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-A\omega \sin (\omega t+\phi )\\ a& =\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-A{\omega }^2\cos (\omega t+\phi )\end{array}$$

注意到 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-{\omega }^{2}x$，即

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$$

这说明余弦解确实满足动力学方程。但这个验证是“先猜后证”，不是推导。

推导

从动力学方程出发：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$$

观察到二阶导数等于原函数乘以 $-{\omega }^2$，猜测解具有指数形式 $x(t)=e^{rt}$。代入：

$$\begin{array}{rl}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}{e}^{rt}& =-{\omega }^2{e}^{rt}\\ r^2{e}^{rt}& =-{\omega }^2{e}^{rt}\\ r^2& =-{\omega }^2\\ r& =\pm i\omega \end{array}$$

由微分方程理论，二阶线性齐次方程的通解是两个线性无关解的线性组合：

$$x(t)=C_1{e}^{i\omega t}+C_2{e}^{-i\omega t}$$

代入欧拉公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$：

$$\begin{array}{rl}x(t)& =C_1(\cos \omega t+i\sin \omega t)+C_2(\cos \omega t-i\sin \omega t)\\ & =(C_1+C_2)\cos \omega t+i(C_1-C_2)\sin \omega t\end{array}$$

令 $c_1=C_1+C_2$，$c_2=i(C_1-C_2)$，得

$$x(t)=c_1\cos \omega t+c_2\sin \omega t$$

再用辅助角公式合并，令 $c_1=A\cos \phi$、$c_2=-A\sin \phi$：

$$\begin{array}{rl}x(t)& =A\cos \phi \cos \omega t-A\sin \phi \sin \omega t\\ & =A\cos (\omega t+\phi )\end{array}$$

这就是简谐振动的运动方程。

常数与初始条件

$A$ 和 $\phi$ 不是自由参数，由初始位移 $x_0$ 和初始速度 $v_0$ 确定：

$$A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{{\omega }^2}},\tan \phi =-\frac{v_0}{\omega x_0}$$

两个初始条件对应两个积分常数——这正是二阶微分方程需要两个条件的原因。

验证

由牛顿第二定律和简谐力 $F=-kx$：

$$\begin{array}{c}a=\frac{F}{m}=\frac{-kx}{m}=\frac{-kA\cos (\omega t+\phi )}{m}\\ \mathrm{联立}a=-{\omega }^{2}x得：\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\end{array}$$

所以 $\omega$ 由系统参数决定，与初始条件无关。

方法小结

动力学方程
  ↓
猜指数解 e^{rt}
  ↓
得到特征方程 r² = -ω²
  ↓
两个复根 ±iω
  ↓
用欧拉公式转成三角函数
  ↓
合并为 A cos(ωt+φ)
  ↓
用初始条件定 A 和 φ

引出

这里的 $\omega$ 是圆频率，与圆周运动中的角速度是什么关系？

在数学上两者数值相同，但物理意义不同：角速度描述质点做圆周运动时转动的快慢；圆频率描述振动相位变化的快慢。因为振动图像与三角函数图像相似，而三角函数可从单位圆推导出来，圆频率可以看作圆周运动角速度在直线上的投影。

推导中用到的二阶常系数齐次线性微分方程通解理论，其基础是什么？

阻尼振动和受迫振动的方程多了哪些项，解的形式如何变化？