定积分性质

引入

定积分是一个数，那它能不能像数一样做加减、比较大小？

为什么把区间从中间切开，两段积分之和等于整段积分？

被积函数恒为正，积分一定为正吗？

定积分的性质全部来自它的定义：分割、近似、求和、取极限。因为求和与取极限都保持线性和序关系，积分也就继承了这些性质。

正文

定义

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分记作 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$ 其中 $\lambda$ 为最大子区间长度。

线性性质

${\int }_a^b\left[\alpha f(x)+\beta g(x)\right]\mathrm{d}x=\alpha {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x+\beta {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$

这是”求和”与”取极限”都保持线性的直接结果。积分号可以逐项分配，这使积分的计算可以拆解。

区间可加性

${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$

其中 $c$ 可以在 $[a,b]$ 内，也可以在外部（此时需约定 ${\int }_b^a=-{\int }_a^b$）。

为什么允许 $c$ 在外部？ 因为定积分的值只依赖被积函数与区间端点，把区间”延长再减去”不改变结果。这个约定让区间可加性成为恒等式，无需附加条件。

保号性与比较

性质	条件	结论
保号性	$f(x)\ge 0$	${\int }_a^{b}f\ge 0$
严格保号	$f(x)>0$ 且连续	${\int }_a^{b}f>0$
比较	$f(x)\le g(x)$	${\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$
绝对值	任意	$\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$

绝对值不等式为什么成立？ 因为 $-|f|\le f\le |f|$，对两边积分再用比较性质即得。

注意方向：$\left|\int f\right|\le \int |f|$，反向不成立。正负抵消会让左边的积分变小。

估值定理

设 $m\le f(x)\le M$，$x\in [a,b]$，则

$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le M(b-a)$

几何意义：曲线下的面积被两个矩形夹住。这个结论在证明积分不等式时非常常用。

积分中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a,b]$，使

${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi )(b-a)$

几何解释：存在一个高度 $f(\xi )$，使以其为高的矩形面积等于曲边梯形面积。这个高度称为平均值：

$\bar{f}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$

性质汇总

性质	式子
线性	$\int (\alpha f+\beta g)=\alpha \int f+\beta \int g$
区间可加	${\int }_a^b={\int }_a^c+{\int }_c^b$
反向	${\int }_a^b=-{\int }_b^a$
零区间	${\int }_a^a=0$
保号	$f\ge 0\Rightarrow \int f\ge 0$
估值	$m(b-a)\le \int f\le M(b-a)$

常见误区

错误说法	问题
”被积函数为正，积分一定为正”	需要连续，否则可能存在零测集上的例外
”积分可以随意拆成乘积”	只有线性可拆，乘积不能拆
"$\left|\int f\right|=\int |f|$"	一般不等，只有 $f$ 不变号时成立
”区间可加要求 $c$ 在区间内”	约定后可在外部
”积分中值定理对可积函数都成立”	需连续

引出

为什么积分中值定理要求连续，而保号性只要求可积？

积分不等式能否用来估计无法精确计算的积分？

定积分的性质与概率中的期望性质为何高度相似？

• 定积分：定义与几何意义
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