不定积分性质

引入

不定积分的结果是一个函数族，那它能像函数一样做加减和数乘吗？

为什么 $\int [f(x)+g(x)]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x+\int g(x)\mathrm{d}x$ 成立，而乘积就不能拆？

常数能不能提到积分号外面？

正文

性质一（线性）

设 $f(x)$、$g(x)$ 的原函数存在，则 $\int \left[f(x)\pm g(x)\right]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x\pm \int g(x)\mathrm{d}x$

性质二（数乘）

设 $f(x)$ 的原函数存在，$k$ 为非零常数，则 $\int kf(x)\mathrm{d}x=k\int f(x)\mathrm{d}x$

两条合起来就是线性性：

$\int \left[\alpha f(x)+\beta g(x)\right]\mathrm{d}x=\alpha \int f(x)\mathrm{d}x+\beta \int g(x)\mathrm{d}x$

为什么成立

求导验证即可：

${\left(\int f+\int g\right)}^{\prime }={\left(\int f\right)}^{\prime }+{\left(\int g\right)}^{\prime }=f+g$

右边恰好是 $f+g$ 的一个原函数，所以它就是 $\int (f+g)\mathrm{d}x$（相差常数，归入 $C$）。

积分是求导的逆运算，所以求导的线性性直接转化为积分的线性性。

常数为什么能提出来

${\left(k\int f\right)}^{\prime }=k{\left(\int f\right)}^{\prime }=kf$

同理，$k\int f$ 是 $kf$ 的原函数。

注意 $k\ne 0$ 的条件：若 $k=0$，左边是 $\int 0\mathrm{d}x=C$，右边是 $0$，两者相差常数，实际上仍成立（因为不定积分允许差常数）。教材写 $k\ne 0$ 是为了避免形式上的歧义。

不能拆的情形

运算	能否拆
和差	能
数乘	能
乘积	不能
商	不能
复合	不能

$\int f(x)g(x)\mathrm{d}x\ne \int f(x)\mathrm{d}x\cdot \int g(x)\mathrm{d}x$

乘积的积分要用分部积分，复合函数的积分要用换元法。这是不定积分运算法则的内容。

拆分策略

线性性质的价值在于把复杂积分拆成多个简单积分：

$\int \left(3x^2-2x+1\right)\mathrm{d}x=3\int x^2\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x=x^3-x^2+x+C$

步骤	操作
1	展开被积函数（去括号、化简）
2	逐项拆分
3	分别套用基本积分表
4	合并，最后加一个 $C$

合并后只写一个 $C$：每一项都产生常数，但它们的和仍是常数，用一个 $C$ 表示即可。

与定积分性质的关系

性质	不定积分	定积分
线性	$\int (\alpha f+\beta g)=\alpha \int f+\beta \int g$	同
区间可加	无此概念	${\int }_a^b={\int }_a^c+{\int }_c^b$
保号性	无此概念	$f\ge 0\Rightarrow \int \ge 0$

不定积分没有区间可加性和保号性，因为它不是数，而是一个函数族。

常见误区

错误说法	问题
”乘积也能拆成两个积分相乘”	不成立
”每项都要写 $+C$“	最后写一个即可
”常数必须非零才能提”	$k=0$ 时也成立（允许差常数）
“不定积分有保号性”	那是定积分的性质
”线性性说明积分是线性的”	是，但”线性”指运算保持，不是指图像

引出

为什么乘积的积分不能拆？这与求导的乘积法则有什么关系？

线性性在定积分中如何体现？

积分算子作为线性算子，与线性代数中的线性映射有何联系？

• 不定积分：原函数与全体原函数
• 不定积分运算法则：换元与分部
• 常用不定积分：基本积分表
• 定积分性质：对应的定积分版本
• 向量：线性运算的抽象
• 数学分析：数学分析的整体框架