函数的极值

引入

对于一个函数来说，它的最小值最大值极为特殊，一些问题的最优解可能就出自这里

函数的极值为函数的一个重要性质

正文

定义

设函数 $f(x)$ 在邻域 $U(x_0)$ 内有定义，若对于去心邻域 $U(x_0)$ 的任一 $x$，有 $f(x_0)<f(x)$（或 $f(x_0)>f(x)$），则认为 $f(x_0)$ 为函数的极小值(或极大值).

定理

设函数 $f(x)$ 在 邻域 $U(x_0)$ 内有定义，在去心邻域 $U(x_0)$ 内可导。
若 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 上满足 $f^{\prime }(x)<0$，且 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 上满足 $f^{\prime }(x)>0$，则 $f(x)$ 在去心邻域 $U(x_0)$ 上取得最小值.
若 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 上满足 $f^{\prime }(x)>0$，且 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 上满足 $f^{\prime }(x)<0$，则 $f(x)$ 在去心邻域 $U(x_0)$ 上取得最大值.

当想要确认一个驻点是否为函数的最小值最大值，可以利用以下定理，求函数二阶导数来判断

定理

设函数 $f(x)=x_0$ 处具有二阶导数，且 $f^{\prime }(x)=0$，$f^{\prime \prime }(x)\ne 0$，则：
若 $f^{\prime \prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 取得最小值
若 $f^{\prime \prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 取得最大值

引出

难点：对于导数的不可导点找最小值最大值

草稿