函数的性质

引入

函数的图像有各种形状，哪些性质是”整体”的，哪些是”局部”的？

为什么”有上界”和”有最大值”不是一回事？

奇偶性和周期性，为什么都能用式子 $f(-x)$ 或 $f(x+T)$ 精确描述？

正文

定义

函数的性质是函数在定义域上表现出的整体特征，主要包括单调性、奇偶性、有界性、周期性、最值。

单调性

定义

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。若对任意 $x_1<x_2$ 都有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称 $f$ 在 $I$ 上严格递增；若 $f(x_1)>f(x_2)$，则称严格递减。

判别方法	适用
定义法	理论证明
导数法	$f^{\prime }(x)>0$ 递增，$f^{\prime }(x)<0$ 递减
图像法	直观判断
复合函数法	同增异减

“同增异减” 指复合函数 $f(g(x))$：若内外层单调性相同，则复合后递增；相反则递减。

导数法的依据是 微分中值定理：$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$，故 $f^{\prime }>0$ 时 $f(b)>f(a)$。

奇偶性

定义

若对定义域内任意 $x$，都有 $f(-x)=f(x)$，则 $f$ 为偶函数；若 $f(-x)=-f(x)$，则 $f$ 为奇函数。

性质	偶函数	奇函数
对称性	关于 $y$ 轴对称	关于原点对称
定义域	必须关于原点对称	必须关于原点对称
特殊值	—	若 $0$ 在定义域内，$f(0)=0$
例子	$x^2$、$\cos x$、$|x|$	$x^3$、$\sin x$、$\frac{1}{x}$

定义域关于原点对称是前提。$f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上既不是奇函数也不是偶函数，因为定义域不对称。

既奇又偶的函数只有一个：$f(x)=0$（定义域关于原点对称）。

有界性

定义

若存在 $M>0$，使对定义域内任意 $x$ 都有 $|f(x)|\le M$，则称 $f$ 在该集合上有界。

概念	定义
有上界	存在 $M$，使 $f(x)\le M$
有下界	存在 $m$，使 $f(x)\ge m$
上确界	最小的上界
下确界	最大的下界

“有界”与”有最值”不同：

函数	有界	有最值
$f(x)=x$，$x\in (0,1)$	是	否
$f(x)=\frac{1}{x}$，$x\in (0,1)$	否	否
$f(x)=\sin x$	是	是（$\pm 1$）

$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上有界（界为 $1$），但取不到 $1$，所以没有最大值。上确界存在不等于最大值存在。

闭区间上的连续函数必有最值，这是极值定理的内容，详见 函数的连续性。

周期性

定义

若存在 $T\ne 0$，使对定义域内任意 $x$ 都有 $f(x+T)=f(x)$，则称 $f$ 为周期函数，$T$ 为一个周期。最小的正周期称为最小正周期。

函数	最小正周期
$\sin x$、$\cos x$	$2\pi$
$\tan x$	$\pi$
$\sin (\omega x)$	$\frac{2\pi }{|\omega |}$
常函数	无最小正周期

常函数是周期函数但无最小正周期：任何正数都是它的周期。

最值

概念	定义
最大值	存在 $x_0$，使 $f(x_0)\ge f(x)$ 对所有 $x$ 成立
极大值	存在邻域，使 $f(x_0)\ge f(x)$ 在该邻域内成立

极大值是局部概念，最大值是整体概念。一个函数可以有多个极大值，但最大值至多一个。

详见 函数的极值。

性质之间的关系

关系	说明
奇偶性 $\Rightarrow$ 对称性	奇函数关于原点，偶函数关于 $y$ 轴
周期性 + 单调性	周期函数不可能在整条定义域上单调
有界性 $\nRightarrow$ 有最值	开区间上的连续函数
可导 $\Rightarrow$ 连续	反之不成立

常见误区

错误说法	问题
”有界就有最大值”	开区间上可能取不到
”奇函数一定过原点”	需 $0$ 在定义域内
”周期函数都有最小正周期”	常函数没有
”单调函数一定可导”	可能有尖点
”极大值就是最大值”	极大值是局部概念

引出

为什么闭区间上的连续函数一定有最大值，而开区间上不一定？

上确界与最大值的差别，在实数完备性中如何体现？

奇偶性与傅里叶级数有什么关系？

• 函数：函数的定义
• 函数的极值：局部最值
• 函数的连续性：闭区间上的性质
• 导数：单调性的判别工具
• 三角函数的几何定义：周期性的几何来源
• 数学分析：数学分析的整体框架