函数的连续性

引入

基于介值定理（连续函数在两点之间的取值不会“跳跃”），和极值定理（闭区间上的连续函数必有最大值和最小值）.

正文

定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$，那么就称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续。

应用

基本初等函数在其定义域上都是连续的

间断点

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，当函数出现以下情况：

1. 在 $x=x_0$ 没有定义
2. 虽在 $x=x_0$ 有定义，但 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 不存在
3. 虽在 $x=x_0$ 有定义，且 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在，但 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\ne f(x_0)$ 那么函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 为不连续，称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的间断点.

复合函数的连续性

待完善

引出

这样定义的强健性在哪？

完备的条件统一：有定义；存在 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$；极限值等于 $f(x)$

将间断点准确的分为了三类（可去间断点，无穷间断点，跳跃间断点）