二次函数的图像与性质

引入

为什么二次函数的最值总在对称轴处取到？

判别式 $\Delta$ 为什么能判断抛物线与 $x$ 轴的交点个数？

为什么等差数列的前 $n$ 项和是二次函数？

正文

定义

形如 $y=a{x}^2+bx+c$（$a\ne 0$）的函数称为二次函数，其图像是一条抛物线。

三种形式

形式	表达式	已知条件
一般式	$y=a{x}^2+bx+c$	任意三点
顶点式	$y=a(x-h{)}^2+k$	顶点 $(h,k)$ 与另一点
交点式	$y=a(x-x_1)(x-x_2)$	与 $x$ 轴的两交点

顶点与对称轴

由配方：

$y=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$

量	表达式
对称轴	$x=-\frac{b}{2a}$
顶点	$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$
开口	$a>0$ 向上，$a<0$ 向下

最值：$a>0$ 时最小值为 $\frac{4ac-b^2}{4a}$，$a<0$ 时最大值为同一个值。

判别式与交点

$\Delta =b^2-4ac$

$\Delta$	与 $x$ 轴的关系	方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 的解
$>0$	两个交点	两个不等实根
$=0$	相切于一点	两个相等实根
$<0$	无交点	无实根

判别式本质上是顶点纵坐标的符号：$\Delta =-4a\cdot \frac{4ac-b^2}{4a}$，所以 $\Delta$ 与顶点纵坐标同号（当 $a>0$ 时）。

单调性

区间	$a>0$	$a<0$
$x<-\frac{b}{2a}$	递减	递增
$x>-\frac{b}{2a}$	递增	递减

二次函数在对称轴两侧单调性相反，这使它在闭区间上的最值需要分情况讨论。

闭区间上的最值

求 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 在 $[m,n]$ 上的最值，需比较对称轴与区间的位置：

位置	最大值	最小值
轴在区间左外	$f(n)$	$f(m)$
轴在区间右外	$f(m)$	$f(n)$
轴在区间内	$\max \{f(m),f(n)\}$	$f(\text{顶点})$

这是二次函数最常考的分类讨论，漏掉情况是最常见的失分点。

与等差数列的联系

等差数列前 $n$ 项和

$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}{n}^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n$

当 $d\ne 0$ 时为关于 $n$ 的二次函数，且常数项为零。

对应	二次函数	等差数列
自变量	$x$	$n$（正整数）
二次项系数	$A$	$\frac{d}{2}$
一次项系数	$B$	$a_1-\frac{d}{2}$
常数项	$C$	$0$

常数项为零的原因：$S_0=0$。所以若给出 $S_n=A{n}^2+Bn+C$ 且 $C\ne 0$，则该数列不是等差数列。

常见误区

错误说法	问题
”二次函数一定有最值”	在开区间上可能取不到
”顶点纵坐标就是最值”	需看定义域是否包含对称轴
”$\Delta =0$ 说明只有一个根”	是两个相等实根
”$a$ 越大开口越窄”	$|a|$ 越大开口越窄
”二次函数在 $\mathbb{R}$ 上单调”	不单调，两侧方向相反

引出

为什么判别式与顶点纵坐标的符号一致？

二次函数的最值问题能否用导数统一处理？

二次型在多元情形下如何推广？

• 函数的极值：用导数求最值
• 等差数列：前 $n$ 项和的二次结构
• 区间：二次不等式解集的表示
• 椭圆：圆锥曲线的另一种
• 数学分析：数学分析的整体框架
• 数学：数学学科入口