函数的极值

引入

导数为零的点一定是极值点吗？

为什么有的题用一阶导数判断，有的题用二阶导数更快？

极值和最值的区别在哪里？

正文

定义

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内有定义。若对去心邻域内的任意 $x$，都有 $f(x_0)<f(x)$，则称 $f(x_0)$ 为极小值；若 $f(x_0)>f(x)$，则为极大值。

极值是局部概念

概念	范围	数量
极值	某个邻域内	可以多个
最值	整个定义域	至多一个最大、一个最小

极小值可以大于极大值：$f(x)=x^3-3x$ 的极大值 $f(-1)=2$ 大于极小值 $f(1)=-2$，但两个”局部”之间没有可比性。

必要条件：费马引理

定理（费马引理）

若 $f$ 在 $x_0$ 处可导且取极值，则 $f^{\prime }(x_0)=0$。

这只是必要条件。$f^{\prime }(x_0)=0$ 的点称为驻点，但驻点不一定是极值点：

函数	$f^{\prime }(0)$	$x=0$ 是否为极值点
$x^2$	$0$	是（极小）
$x^3$	$0$	否（拐点）
$x^4$	$0$	是（极小）
$|x|$	不存在	是（极小）

最后一行说明：极值点也可能出现在不可导点，所以求极值时要把”导数为零”和”导数不存在”的点都列出来。

一阶导数判别法

定理

设 $f$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内可导：

• $x<x_0$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$x>x_0$ 时 $f^{\prime }(x)>0$ → 极小值
• $x<x_0$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$x>x_0$ 时 $f^{\prime }(x)<0$ → 极大值
• 两侧同号 → 不是极值

左侧	右侧	结论
$-$	$+$	极小值
$+$	$-$	极大值
$+$	$+$	不是极值
$-$	$-$	不是极值

核心是”变号”，而不是”等于零”。$x^3$ 在 $0$ 处导数为零但两侧都是正号，所以不是极值。

二阶导数判别法

定理

设 $f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)$ 存在：

• $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ → 极小值
• $f^{\prime \prime }(x_0)<0$ → 极大值
• $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ → 失效，需用一阶判别

为什么有效？ $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ 说明 $f^{\prime }$ 在 $x_0$ 附近递增，而 $f^{\prime }(x_0)=0$，所以 $f^{\prime }$ 从负变正，符合极小值条件。

为什么 $f^{\prime \prime }=0$ 时失效？ 因为此时 $f^{\prime }$ 在 $x_0$ 处可能不变号，也可能变号，无法判断。

函数	$f^{\prime }(0)$	$f^{\prime \prime }(0)$	结论
$x^2$	$0$	$2>0$	极小
$-x^2$	$0$	$-2<0$	极大
$x^3$	$0$	$0$	失效（实际非极值）
$x^4$	$0$	$0$	失效（实际极小）

求极值的步骤

步骤	操作
1	求定义域
2	求 $f^{\prime }(x)$
3	找 $f^{\prime }(x)=0$ 的点和 $f^{\prime }$ 不存在的点
4	用一阶或二阶判别
5	算出极值

第 3 步容易漏掉不可导点。例如 $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$ 在 $0$ 处不可导，但取极小值 $0$。

最值的求法

闭区间 $[a,b]$ 上连续函数的最值：

候选点	说明
区间内的驻点	极值可能在此取得
区间内的不可导点	同上
端点 $a$、$b$	最值可能在端点

比较所有候选点的函数值，取最大与最小。不能只比较极值，因为最值可能在端点。

应用题中的建模

步骤	操作
1	设变量，写出目标函数
2	确定定义域（常被忽略）
3	求导、找驻点
4	判断是最大还是最小
5	回答原问题

定义域是关键：很多实际问题的变量有隐含限制（长度为正、角度在 $0\sim \pi$ 之间），忽略会导致选出不合理的解。

常见误区

错误说法	问题
”导数为零就是极值点”	可能是拐点
”极值点一定可导”	$|x|$ 在 $0$ 处
”极大值一定大于极小值”	是局部概念，不可比
”最值一定在极值点取得”	可能在端点
”$f^{\prime \prime }=0$ 说明不是极值”	判别失效，需另判

引出

为什么极值点可能出现在不可导点？

二阶判别法失效时，能否用更高阶导数判断？

多元函数的极值判别为什么要用海森矩阵？

• 导数：导数的定义
• 函数的凹凸性：二阶导数的另一用途
• 微分中值定理：费马引理的来源
• 函数的性质：最值与有界性
• 泰勒公式：高阶判别
• 数学分析：数学分析的整体框架