角动量量子化

引入

经典力学中，角动量可以取任意连续值（陀螺可以以任意速率旋转）。但在量子力学中，角动量被限制为离散值。这个量子化规则决定了原子轨道的形状、空间取向，以及分子转动光谱的线间距。

正文

定义

角动量量子化是指量子系统中角动量的大小和空间投影只能取离散值，由量子数决定。

轨道角动量

轨道角动量的大小：

$$L=\hslash \sqrt{l(l+1)}$$

在 $z$ 轴方向的投影：

$$L_z=m_l\hslash ,m_l=-l,-l+1,\dots ,0,\dots ,+l$$

关键特征：

• 角动量的大小不是 $l\hslash$ 而是 $\sqrt{l(l+1)}\hslash$，这意味着 $L>L_z$——角动量不可能完全沿某一方向
• $L_z$ 有 $2l+1$ 个取值，即角动量有 $2l+1$ 种空间取向（空间量子化）

自旋角动量

自旋角动量遵循相同的数学结构，只是由自旋量子数 $s$ 决定：

$$S=\hslash \sqrt{s(s+1)},S_z=m_s\hslash$$

总角动量

总角动量 $\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}$，由量子数 $j$ 描述，同样遵循量子化规则。

外磁场中的能级分裂

无外磁场时，不同 $m_l$ 的态能量相同（简并）。加上外磁场后，不同取向的角动量与磁场相互作用能不同，简并被解除：

$$\Delta E=m_l{\mu }_{B}B$$

其中 ${\mu }_B$ 为玻尔磁子。这就是塞曼效应——原子光谱线在磁场中分裂。

化学意义

• $l$ 决定了轨道形状：$l=0$（s 球形）、$l=1$（p 哑铃形）、$l=2$（d 花瓣形）
• $m_l$ 决定了轨道的空间取向数量：p 有 3 个、d 有 5 个、f 有 7 个
• 分子的转动光谱线间距直接与转动角动量量子化相关

引出

角动量量子化是理解氢原子模型精细结构和分子光谱转动谱的基础。

结合自旋和泡利原理，可以完整理解原子光谱的复杂结构。