量子数

引入

求解薛定谔方程时，边界条件自然产生一组离散整数。这些整数就是量子数，它们决定了波函数的能级、形状和空间取向。

化学中的电子构型（$1s^{2}2s^{2}2p^6\dots$）、元素周期律的周期性，都根源于量子数的组合规则。

正文

定义

量子数是描述量子系统状态的一组离散整数或半整数，由求解薛定谔方程的边界条件自然产生。

四个量子数

描述原子中一个电子需要四个量子数：

量子数	符号	取值	物理意义
主量子数	$n$	$1,2,3,\dots$	决定能级和电子壳层
角量子数	$l$	$0,1,\dots ,n-1$	决定轨道形状（s, p, d, f）
磁量子数	$m_l$	$-l,\dots ,0,\dots ,+l$	决定轨道空间取向
自旋磁量子数	$m_s$	$+\frac{1}{2}$ 或 $-\frac{1}{2}$	描述电子自旋方向

量子数如何决定电子排布

给定 $n$，$l$ 可取 $n$ 个值；给定 $l$，$m_l$ 可取 $2l+1$ 个值；每个轨道可容纳 2 个电子（$m_s$ 两种取值）。

所以第 $n$ 壳层最多容纳 $2n^2$ 个电子：

壳层	$n$	子壳层	轨道数	最大电子数
K	1	1s	1	2
L	2	2s, 2p	4	8
M	3	3s, 3p, 3d	9	18
N	4	4s, 4p, 4d, 4f	16	32

这就是元素周期表各周期元素数目（2, 8, 18, 32）的物理根源。

引出

为什么每个轨道最多只能容纳两个电子？这涉及泡利不相容原理。

角量子数 $l$ 的物理本质是角动量量子化。