波函数

引入

薛定谔方程的解就是波函数。但波函数本身代表什么？经典力学中粒子的位置是确定的，量子力学中粒子没有确定的轨迹，波函数提供的是一种概率性的描述。

化学中常说的 s 轨道、p 轨道、电子云形状，本质上都是波函数的空间分布。

正文

定义

波函数 $\psi (\vec{r},t)$ 是描述微观粒子量子态的数学函数，其模方 $|\psi {|}^2$ 表示粒子在空间某处出现的概率密度。

玻恩统计解释

波函数本身没有直接的物理意义（可以是复数），但 $|\psi (\vec{r},t){|}^2\mathrm{d}V$ 给出了在体积元 $\mathrm{d}V$ 内找到粒子的概率。

这是量子力学与经典力学的根本区别：只能预测概率，不能预测确定的轨迹。

波函数的基本要求

波函数必须满足三个条件：连续、单值、有限（平方可积）。

归一化条件保证概率总和为 1：

$$\int |\psi {|}^2\mathrm{d}V=1$$

径向部分与角度部分

在球坐标下，氢原子波函数可以分离为：

$${\psi }_{nlm}(r,\theta ,\varphi )=R_{nl}(r)\cdot Y_{lm}(\theta ,\varphi )$$

• $R_{nl}(r)$：径向部分，由主量子数 $n$ 和角量子数 $l$ 决定，决定电子离核的距离分布
• $Y_{lm}(\theta ,\varphi )$：角度部分（球谐函数），由 $l$ 和磁量子数 $m$ 决定，决定轨道的空间形状

化学中熟悉的 s 轨道球形、p 轨道哑铃形、d 轨道花瓣形，都来自角度部分 $Y_{lm}$。

引出

波函数的量子数决定了电子的能级和空间分布。多个电子如何分配到不同的波函数解中，受泡利不相容原理约束。