保守力

引入

为什么上山走缓坡和走陡坡，重力做功一样？

为什么摩擦力做功就必须看走了哪条路？

为什么只有“保守力”才能定义势能？

这三个问题指向同一个区分：力做功是否依赖路径。保守力与耗散力的分界，决定了能不能引入势能这一概念。

正文

定义

保守力是做功只与初末位置有关、与路径无关的力。

等价表述：沿任意闭合路径做功为零。

$$\oint \vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r}=0$$

保守力场

定义

若系统内所有作用力都是保守力，该系统称为保守系统（守恒系统）。

保守系统的机械能守恒，因为没有任何力把机械能转化为内能。

常见保守力

力	做功特征	对应势能
重力	只与初末高度有关	$mgh$
弹力	只与弹簧初末形变有关	$\frac{1}{2}k{x}^2$
库仑力	只与电荷间初末距离有关	$k{q}_1{q}_2/r$
万有引力	只与天体间初末距离有关	$-GMm/r$
范德华力	只与分子间初末距离有关	见分子势能

共同点：这些力都只依赖位置，不依赖速度，也不依赖路径。

非保守力

力	为什么不保守
摩擦力	做功与路径长度成正比，路径越长做功越多
空气阻力	同上，且方向总与速度相反
推拉力（外力）	做功取决于具体过程，不一定能写成位置函数

摩擦力沿闭合路径一周做功不为零，所以不能定义“摩擦势能”。

保守力与势能的关系

保守力做功等于势能变化的负值：

$$W_{\text{保}}=-\Delta E_p$$

反过来，已知势能函数可以求保守力：

$$\vec{F}=-\nabla E_p$$

一维情形下：

$$F=-\frac{\mathrm{d}{E}_p}{\mathrm{d}x}$$

这个式子说明：势能曲线的斜率（取负）就是力。势能最低点对应平衡位置，斜率不为零处有回复力。

判断方法

判断一个力是否保守，有三种等价方法：

1. 计算沿两条不同路径做的功，看是否相等。
2. 计算沿闭合路径做的总功，看是否为零。
3. 看能否写出对应的势能函数。

实际做题时，最常用的是第一条：比较不同路径的功。

引出

为什么势能只能对保守力定义？摩擦力做功对应的能量去哪了？

势能曲线的最低点、拐点和渐近线分别对应什么物理意义？

非保守系统能否用“广义势能”处理？