功

引入

提着水桶水平走，为什么累却不做功？

为什么推箱子时，力和位移方向不一致，功会变小？

弹簧被压缩的过程，力一直在变，总功怎么算？

功是“力在空间上的累积”。它把过程量（力随位移的变化）转化成状态量（动能的变化），这是能量方法的起点。

正文

定义

功是力沿位移方向的分量与位移的乘积，描述力对空间的累积效应。单位是焦耳（$\mathrm{J}$）。

恒力做功

$$W=F|\Delta \vec{r}|\cos \alpha =\vec{F}\cdot \Delta \vec{r}$$

其中 $\alpha$ 是力与位移的夹角。

三个量的含义：

• $F\cos \alpha$ 是力在位移方向的分量
• $|\Delta \vec{r}|\cos \alpha$ 是位移在力方向上的投影
• 两者相等，所以功可以写成点积

原笔记单位写作 $J/N$，应为 $\mathrm{J}$。$1\mathrm{J}=1\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ 是能量单位，不是 $J/N$。

正功、负功与不做功

由 $\cos \alpha \in [-1,1]$ 决定：

夹角 $\alpha$	功	效果
$0\le \alpha <90^{\circ }$	正功	力促进运动，动能增加
$\alpha =90^{\circ }$	零	力不改变动能
$90^{\circ }<\alpha \le 180^{\circ }$	负功	力阻碍运动，动能减少

“提着水桶水平走”时，支持力与位移垂直，做功为零；人感到累是因为肌肉内部反复收缩，不是对水桶做了功。

变力做功

$$W={\int }_{{\vec{r}}_0}^{{\vec{r}}_1}\vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r}$$

当力随位置变化时，不能直接用 $F\Delta r$。两种常用处理方法：

方法	适用	做法
图像法	力-位移图像已知	图线下的面积即功，注意正负
积分法	力有解析表达式	直接算定积分

例：弹簧弹力 $F=-kx$，从 $0$ 拉到 $x$：

$$W={\int }_0^x(-k{x}^{\prime })\mathrm{d}{x}^{\prime }=-\frac{1}{2}k{x}^2$$

负号表示弹力做负功，能量储存在弹簧里，成为弹性势能。

功与动能定理

$$W_{\text{合}}=\Delta E_k=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2$$

合外力做的总功等于动能变化量。这是把“力”和“能量”连接起来的桥梁。

引出

做功反映能量的变化。功是过程量，动能是状态量，二者通过动能定理联系。

为什么摩擦力做功会导致机械能“消失”？这些能量去哪了？

保守力做功与路径无关，这个性质如何引出势能？