物理量

引入

为什么速度要写成 $\vec{v}$，而时间只写 $t$？

为什么位移不能直接把两段路程相加？

为什么角速度的方向要用右手定则规定，而且换个约定它就会反向？

运动学里很多错误不是公式记错，而是把量和它的方向拆开了。物理量按照“有没有方向”分成标量、矢量、赝向量三类，每一类的运算规则不同。分不清类别，就会出现“速度相加直接算数值”这类错误。

正文

标量

定义

只有大小、没有方向的物理量。运动学中的时间 $t$、路程 $s$、速率 $v$、质量 $m$ 都是标量。

标量遵循普通算术法则，直接加减乘除。两个速率相加就是数值相加。

矢量

定义

同时具有大小和方向的物理量。运动学中的位置 $\vec{r}$、位移 $\Delta \vec{r}$、速度 $\vec{v}$、加速度 $\vec{a}$ 都是矢量。

矢量运算不能只算数值，必须同时处理方向。

矢量运算法则

矢量加法

物理意义：合成运动或合成位移。一个物体同时参与两个方向的运动时，总位移是两个分位移的矢量和。

平行四边形法则：把两矢量 $\vec{A}$、$\vec{B}$ 的起点重合，以它们为邻边作平行四边形，对角线就是合矢量 $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$。

三角形法则：把 $\vec{B}$ 的起点平移到 $\vec{A}$ 的终点（首尾相接），从 $\vec{A}$ 的起点指向 $\vec{B}$ 的终点的矢量就是合矢量。

坐标运算：在笛卡尔坐标系中，若 $\vec{A}=(A_x,A_y,A_z)$、$\vec{B}=(B_x,B_y,B_z)$，则

$$\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}=(A_x+B_x,A_y+B_y,A_z+B_z)$$

矢量减法

物理意义：计算物理量的变化量。

• 位移：$\Delta \vec{r}={\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$（末位置减初位置）
• 速度变化量：$\Delta \vec{v}={\vec{v}}_2-{\vec{v}}_1$（用于定义加速度）

法则：$\vec{A}-\vec{B}$ 定义为 $\vec{A}+(-\vec{B})$，其中 $-\vec{B}$ 与 $\vec{B}$ 大小相等、方向相反。

坐标运算：$\vec{A}-\vec{B}=(A_x-B_x,A_y-B_y,A_z-B_z)$

矢量乘法

数量积（点积）

定义

两个矢量 $\vec{A}$、$\vec{B}$ 的数量积是一个标量： $\vec{A}\cdot \vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos \theta$ 其中 $\theta$ 是两矢量之间的夹角（$0\le \theta \le \pi$）。

物理意义：一个矢量在另一个矢量方向上的投影，乘以另一个矢量的大小。

经典应用是计算功：$W=\vec{F}\cdot \vec{s}$。

也可用来判断垂直：若 $\vec{A}\cdot \vec{B}=0$ 且两矢量非零，则 $\vec{A}\perp \vec{B}$。匀速圆周运动中，速度 $\vec{v}$ 始终垂直于向心加速度 ${\vec{a}}_c$。

坐标运算：$\vec{A}\cdot \vec{B}=A_x{B}_x+A_y{B}_y+A_z{B}_z$

向量积（叉积）

定义

两个矢量 $\vec{A}$、$\vec{B}$ 的向量积是一个新的矢量，记作 $\vec{C}=\vec{A}\times \vec{B}$。

大小：$|\vec{C}|=|\vec{A}||\vec{B}|\sin \theta$，等于以 $\vec{A}$、$\vec{B}$ 为邻边的平行四边形面积。

方向：垂直于 $\vec{A}$、$\vec{B}$ 所决定的平面，指向由右手定则确定——四指从 $\vec{A}$ 沿较小夹角弯向 $\vec{B}$，拇指所指即 $\vec{C}$ 的方向。

重要性质：

1. 反对称性：$\vec{A}\times \vec{B}=-(\vec{B}\times \vec{A})$，顺序不可交换。
2. 若 $\vec{A}$ 与 $\vec{B}$ 平行（同向或反向），则 $\vec{A}\times \vec{B}=\vec{0}$。

主要用途：描述转动。角速度 $\vec{\omega }$ 与线速度 $\vec{v}$ 的关系为 $\vec{v}=\vec{\omega }\times \vec{r}$；角加速度 $\vec{\alpha }$ 与线加速度的关系同理。

坐标运算：

$$\vec{A}\times \vec{B}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ A_x& A_y& A_z\\ B_x& B_y& B_z\end{array}\right|=(A_y{B}_z-A_z{B}_y)\hat{i}+(A_z{B}_x-A_x{B}_z)\hat{j}+(A_x{B}_y-A_y{B}_x)\hat{k}$$

赝向量

定义

通过向量积定义的物理量称为赝向量（轴矢量）。

与“真”矢量的区别在于空间反演（$(x,y,z)\to (-x,-y,-z)$）时的行为：

• 真矢量（位移、速度、力）在空间反演时方向反向。
• 赝向量在空间反演时方向不反向。

理解方式：赝向量的方向是人为规定的（依赖右手定则）。如果改用左手定则定义叉积，所有赝向量的方向都会反转，但它们描述的物理现象（转动的快慢和方向）不变。

运动学中的赝向量有角速度 $\vec{\omega }$、角加速度 $\vec{\alpha }$ 等。

三类量的对比

类型	是否有方向	空间反演	例子
标量	无	不变	时间、质量、路程、速率、能量
矢量	有	反向	位移、速度、加速度、力、动量
赝向量	有（人为规定）	不反向	角速度、角加速度、力矩、角动量

引出

国际单位制基本单位及其导出单位都是标量，单位本身不携带方向信息。

为什么角动量也是赝向量？它在空间反演下真的不改变吗？

相对论中，速度和加速度的合成还能直接用平行四边形法则吗？