角动量

引入

为什么行星靠近太阳时跑得快，远离太阳时跑得慢？

为什么花样滑冰选手收臂后转速会突然加快？

角动量守恒的条件比动量守恒宽还是窄？

动量描述平动，力改变动量。转动也需要一个对应的物理量来描述“旋转的动量”，这就是角动量。它和动量、能量并列为三大守恒量。

正文

定义

角动量是描述物体转动状态的物理量。质点相对某参考点的角动量为 $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$ 其中 $\vec{r}$ 是位矢，$\vec{p}$ 是动量，单位 $\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$。

角动量是赝向量，方向由右手定则确定。

角动量定理

角动量对时间的变化率等于合外力矩：

$$\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\vec{M}$$

其中 $\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$ 是力矩。这个式子与牛顿第二定律 $\mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}t=\vec{F}$ 的形式完全对应。

积分形式（角冲量等于角动量变化）：

$$\int \vec{M}\mathrm{d}t=\Delta \vec{L}$$

角动量守恒

合外力矩为零时，角动量保持不变：

$$\vec{L}=\text{常矢量}$$

注意条件比动量守恒宽松：合力可以不为零，只要合力矩为零。例如行星受到指向太阳的引力，合力不为零，但力沿径向、力臂为零，力矩为零，所以角动量守恒。

常见场景：

场景	为什么守恒
有心力场（万有引力、库仑力）	力沿径向，力矩为零
行星运动	开普勒第二定律（面积速度恒定）就是角动量守恒
花样滑冰收臂	竖直方向无外力矩，$J$ 减小则 $\omega$ 增大
陀螺进动	重力矩只改变角动量方向，不改变大小

刚体的角动量

定轴转动的刚体：

$$L=J\omega$$

其中 $J=\sum m_i{r}_i^2$ 是转动惯量，$\omega$ 是角速度。

转动动能：

$$E_k=\frac{1}{2}J{\omega }^2$$

这两式是转动问题与平动问题对照的关键。

开普勒第二定律的推导

行星在有心力场中运动，角动量守恒：

$$L=m{r}^2\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}=\text{常量}$$

单位时间扫过的面积：

$$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}{r}^2\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}=\frac{L}{2m}=\text{常量}$$

这正是开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等面积。

量子力学中的角动量

经典角动量可以取连续值。量子力学中，角动量被角动量量子化限制为离散值：

$$L=\hslash \sqrt{l(l+1)}$$

这个结论直接影响了原子轨道形状和分子转动光谱。

化学意义

• 分子转动光谱：转动能级由角动量量子化决定，谱线间距与转动惯量相关（见分子光谱）。
• 电子轨道角动量：经典轨道角动量在量子力学中被量子数 $l$ 替代。

引出

角动量守恒与动量守恒、能量守恒并列为三大守恒定律。

在刚体转动中，角动量的变化由转动定律描述。

为什么角动量守恒允许合力不为零？

陀螺为什么不倒？进动的角速度由什么决定？