角动量

引入

动量描述平动，力改变动量。对于转动，需要一个对应的物理量来描述”旋转的动量”——这就是角动量。角动量守恒定律是物理学中最基本的守恒律之一。

正文

定义

角动量是描述物体转动状态的物理量。质点相对于某参考点的角动量：$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$，其中 $\vec{r}$ 为位矢，$\vec{p}$ 为动量。单位 $\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$。

角动量定理

角动量对时间的变化率等于外力矩：

$$\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\vec{M}$$

其中 $\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$ 为力矩。这与牛顿第二定律 $\mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}t=\vec{F}$ 的形式完全对应。

角动量守恒

当合外力矩为零时，$\vec{L}=\text{const}$。

常见场景：

• 有心力场（如万有引力、库仑力）：力沿径向，力矩为零，角动量守恒
• 行星运动：开普勒第二定律（面积速度恒定）就是角动量守恒的体现
• 花样滑冰：收紧身体（减小转动惯量 $I$），角速度 $\omega$ 增大以保持 $L=I\omega$ 不变

刚体的角动量

对于定轴转动的刚体：

$$L=I\omega$$

其中 $I=\sum m_i{r}_i^2$ 为转动惯量，$\omega$ 为角速度。

转动动能：$E_k=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

量子力学中的角动量

经典角动量可以取连续值，量子力学中角动量被角动量量子化限制为离散值：$L=\hslash \sqrt{l(l+1)}$。

化学意义

• 分子转动光谱：分子的转动能级由角动量量子化决定，光谱线间距直接与转动惯量相关（见分子光谱）
• 行星模型中的电子轨道：经典轨道角动量在量子力学中被量子数 $l$ 替代

引出

角动量守恒与动量守恒、能量守恒并列为三大守恒定律。在刚体转动中，角动量的变化由转动定律描述。