物理量

引入

在运动学中，我们把方向信息绑入到变量中

正文

标量

定义

只有大小，没有方向的物理量。运动学对象有时间$t$、路程$d$、速率$v$。

运算遵循普通算术法则（加、减、乘、除）。

矢量

定义

同时具有大小和方向的物理量。运动学对象有位置$\vec{r}$、位移$\Delta \vec{r}$、速度$\vec{v}$、加速度$\vec{a}$。

运算: 遵循特定的矢量运算法则。

矢量运算法则

矢量加法

物理意义：合成运动或合成位移。例如，一个物体同时参与两个方向的运动，其总位移是两个分位移的矢量和。

平行四边形法则
将两矢量$\vec{A}$和$\vec{B}$的起点重合，以此为邻边作平行四边形，其对角线矢量即为合矢量$\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$。

三角形法则
将矢量$\vec{B}$的起点平移至矢量$\vec{A}$的终点（首尾相接），从$\vec{A}$的起点指向$\vec{B}$的终点的矢量即为合矢量$\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$。

坐标运算：在笛卡尔坐标系中，若$\vec{A}=(A_x,A_y,A_z)$且$\vec{B}=(B_x,B_y,B_z)$，则：$\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}=(A_x+B_x,A_y+B_y,A_z+B_z)$

矢量减法

物理意义：计算物理量的变化量。例如**：位移**$\Delta \vec{r}={\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$（末位置减初位置） 速度变化量$\Delta \vec{v}={\vec{v}}_2-{\vec{v}}_1$（末速度减初速度，用于定义加速度）

法则 矢量减法$\vec{A}-\vec{B}$定义为$\vec{A}+(-\vec{B})$。其中$-\vec{B}$是与$\vec{B}$大小相等、方向相反的矢量。

坐标运算：$\vec{A}-\vec{B}=(A_x-B_x,A_y-B_y,A_z-B_z)$

矢量乘法

数量积

定义

两个矢量$\vec{A}$和$\vec{B}$的数量积是一个标量。
$\vec{A}\cdot \vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos \theta$，其中$\theta$是$\vec{A}$和$\vec{B}$之间的夹角（$0\le \theta \le \pi$）。

物理意义:表示一个矢量在另一个矢量方向上的投影（分量）与另一个矢量大小的乘积。

在物理学中，最经典的应用是计算功：$W=\vec{F}\cdot \vec{s}$（力与位移的点积）。

在运动学中，可用于检查两个矢量是否垂直。若$\vec{A}\cdot \vec{B}=0$（且$\vec{A},\vec{B}$均非零矢量），则$\vec{A}\perp \vec{B}$。例如，在匀速圆周运动中，速度$\vec{v}$始终垂直于向心加速度${\vec{a}}_c$。

坐标运算：$\vec{A}\cdot \vec{B}=A_x{B}_x+A_y{B}_y+A_z{B}_z$

向量积

定义

两个矢量$\vec{A}$和$\vec{B}$的向量积是一个新的矢量，记作$\vec{C}=\vec{A}\times \vec{B}$。

特性

大小：$|\vec{C}|=|\vec{A}\times \vec{B}|=|\vec{A}||\vec{B}|\sin \theta$（$\theta$为夹角）。这个大小等于以$\vec{A}$和$\vec{B}$为邻边所构成的平行四边形的面积。
方向：$\vec{C}$的方向垂直于由$\vec{A}$和$\vec{B}$所构成的平面，其具体指向由右手定则决定：伸出右手，四指从$\vec{A}$的方向（从较小夹角）弯向$\vec{B}$的方向，此时大拇指所指的方向即为$\vec{C}$的方向。

重要性质

1. 反对称性：$\vec{A}\times \vec{B}=-(\vec{B}\times \vec{A})$。向量积的顺序至关重要，不可交换。
2. 若$\vec{A}$与$\vec{B}$平行（同向或反向），则$\vec{A}\times \vec{B}=\vec{0}$。

主要用于转动运动学。例如，定义角速度$\vec{\omega }$和线速度$\vec{v}$的关系：$\vec{v}=\vec{\omega }\times \vec{r}$（$\vec{r}$是从转轴指向质点的位置矢量）；定义角加速度$\vec{\alpha }$和线加速度的关系。

坐标运算： $\vec{A}\times \vec{B}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ A_x& A_y& A_z\\ B_x& B_y& B_z\end{array}\right|$ $=(A_y{B}_z-A_z{B}_y)\hat{i}+(A_z{B}_x-A_x{B}_z)\hat{j}+(A_x{B}_y-A_y{B}_x)\hat{k}$

赝向量

定义

通过向量积定义的物理量，被称为赝向量或轴矢量。 $1与“真”向量(PolarVector)的区别：“真”向量（如位移、速度、力）在空间反演（坐标系反转，$(x,y,z) \to (-x,-y,-z)$）时，其方向会反向。

赝向量在空间反演时，其方向不反向。
理解：赝向量的方向是“人为规定”的（通过右手定则）。如果我们使用“左手定则”来定义叉积，所有赝向量的方向都会反转，但它们所描述的物理现象（如转动的快慢和方向）保持不变。

运动学有角速度$\vec{\omega }$、角加速度$\vec{\alpha }$等赝向量

引出

国际单位制基本单位以及它们的导出单位都是一个标量。