向量

引入

物理中”功 = 力 × 位移”，但力和位移都是向量，两个向量怎么相乘得到一个数？

为什么 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ 和 $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots$ 这两个完全不同的式子会相等？

平面向量有 $2$ 个分量，空间向量有 $3$ 个，那 $n$ 维向量是什么？

正文

定义

向量是既有大小又有方向的量，可以平移。在 $n$ 维空间中，向量表示为有序数组 $\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$

两种运算

运算	定义	结果
加法	对应分量相加	向量
数乘	每个分量乘 $\lambda$	向量
点积	对应分量乘积之和	数

向量空间的定义只要求这两条（加法与数乘）满足若干规则，不要求”箭头”存在。这是 代数 中抽象化的起点。

点积的两种定义

代数定义

对于两个 $n$ 维向量 $\vec{a}=[a_1,a_2,\cdots ,a_n]$ 和 $\vec{b}=[b_1,b_2,\cdots ,b_n]$： $\vec{a}\cdot \vec{b}={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$

几何定义

$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ 其中 $\theta$ 为两向量的夹角。

两个定义相等，这不是巧合：

在平面中设 $\vec{a}=(a_1,a_2)$、$\vec{b}=(b_1,b_2)$，由余弦定理

$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$

左边展开为 $(a_1-b_1{)}^2+(a_2-b_2{)}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2(a_1{b}_1+a_2{b}_2)$，与右边比对即得

$|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta =a_1{b}_1+a_2{b}_2$

这就是”代数式”与”几何式”的桥梁。

点积的用途

用途	公式	说明
求夹角	$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$	夹角唯一确定
判断垂直	$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$	最常用的判定
求投影	$|\vec{b}|\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$	$\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影长
求模	$|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot \vec{a}}$	模是自身点积的平方根

投影公式是点到直线距离、点到平面距离的统一来源。把向量投影到法向量方向上，取绝对值，就是距离。

点积的性质

性质	式子
交换律	$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$
分配律	$\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}$
数乘	$(\lambda \vec{a})\cdot \vec{b}=\lambda (\vec{a}\cdot \vec{b})$
正定性	$\vec{a}\cdot \vec{a}\ge 0$，等号仅当 $\vec{a}=\vec{0}$

点积不满足结合律：$(\vec{a}\cdot \vec{b})\cdot \vec{c}$ 中，$\vec{a}\cdot \vec{b}$ 是数，数与向量不能点积，所以这个式子无意义。只有 $\vec{a}\cdot (\vec{b}\cdot \vec{c})$ 也不对——括号内是数。点积只能两个向量之间做。

基底与坐标

定义

若向量 ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,\cdots ,{\vec{e}}_n$ 线性无关，且空间中任一向量都能表示为它们的线性组合，则称它们为该空间的一组基底。

$n\text{ 维空间需要 }n\text{ 个基底向量}$

空间	基底个数	常用基底
平面	$2$	$\vec{i},\vec{j}$
三维空间	$3$	$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$
$n$ 维空间	$n$	${\vec{e}}_1,\cdots ,{\vec{e}}_n$

坐标是相对于基底而言的：同一个向量在不同基底下坐标不同，但向量本身不变。这就是 坐标变换 的核心。

从二维到 $n$ 维

$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$

概念	二维	$n$ 维
模	$\sqrt{a_1^2+a_2^2}$	$\sqrt{a_1^2+\cdots +a_n^2}$
点积	$a_1{b}_1+a_2{b}_2$	$\sum a_i{b}_i$
垂直	$a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$	$\sum a_i{b}_i=0$
距离	$\sqrt{(a_1-b_1{)}^2+(a_2-b_2{)}^2}$	$\sqrt{\sum (a_i-b_i{)}^2}$

公式形式完全不变，只是项数增加。这正是抽象的力量：定义一次，推广到任意维。

常见误区

错误说法	问题
”点积的结果是向量”	是数（标量）
”$(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 与 $\vec{a}(\vec{b}\cdot \vec{c})$ 相等”	一般不相等，方向不同
”向量必须有几何箭头”	抽象向量只需满足运算规则
”坐标就是向量本身”	坐标依赖基底
”$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 说明有一个是零向量”	也可能是垂直

引出

为什么点积的两种定义必然相等？这与余弦定理的关系是什么？

如果去掉”正定性”，会得到什么样的”点积”？

函数之间的”点积”（内积）如何定义？

• 空间向量：三维情形的应用
• 代数：向量空间的抽象结构
• 坐标变换：基底与坐标的关系
• 正弦定理、余弦定理：点积的三角形版本
• 数学：数学学科入口