自然坐标系

引入

汽车沿弯道加速时，既有“越开越快”，又有“方向在转”。这两种变化能不能分开算？

为什么抛体运动的加速度恒定，轨迹却是曲线？

为什么有些题必须用自然坐标系，用直角坐标反而算不动？

直角坐标系回答“位置在哪”，自然坐标系回答“沿轨迹怎么变”。当轨迹已知、且关心速率变化和方向变化时，后者更直接。

正文

定义

自然坐标系是一种局部坐标系，坐标轴建立在运动质点的轨迹上，并随质点运动而移动。它适用于轨迹已知的情形。

坐标系构建

在轨迹上任意一点 $P$ 建立两个相互垂直的单位矢量：

1. 切向单位矢量 ${\mathbf{e}}_t$：沿轨迹切线方向，指向质点前进方向。
2. 法向单位矢量 ${\mathbf{e}}_n$：在密切平面内垂直于 ${\mathbf{e}}_t$，指向轨迹曲线的凹侧。

两个矢量随质点移动而改变方向，这是它与笛卡尔坐标系的根本区别。

加速度的分解

在该坐标系下，加速度分解为两个正交分量：

$$\mathbf{a}=a_t{\mathbf{e}}_t+a_n{\mathbf{e}}_n$$

切向加速度 $a_t$：加速度在切向的投影，表示速率变化的快慢。

$$a_t=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$$

$a_t>0$ 时速率增加，$a_t<0$ 时速率减小，$a_t=0$ 时速率不变（匀速运动）。

法向加速度 $a_n$：加速度在法向的投影，表示速度方向变化的快慢。

$$a_n=\frac{v^2}{\rho }$$

其中 $\rho$ 是质点所在位置的曲率半径。只要轨迹是曲线（$\rho$ 有限），就存在法向加速度。

两类运动的对应

运动	$a_t$	$a_n$	说明
匀速直线运动	$0$	$0$	速度大小和方向都不变
匀变速直线运动	常数	$0$	只有速率在变
匀速圆周运动	$0$	$v^2/r$	只有方向在变
变速曲线运动	非零	非零	两者同时存在

这张表是判断“加速度是否为零”的实用工具。曲线运动一定有 $a_n\ne 0$，所以加速度一定不为零，哪怕速率恒定。

举例

以圆周运动为例，切向速度对应角速度，法向加速度即向心加速度：

$$v_t=\omega r,a_n=\frac{v^2}{\rho }=\frac{v^2}{r}$$

曲率半径 $\rho$ 退化为圆半径 $r$，这正是圆周运动是曲线运动特例的原因。

引出

自然坐标系不关心物体的具体位置，它只描述速度大小和方向的变化。

曲率半径 $\rho$ 在一般曲线上如何计算？它和轨迹的弯曲程度是什么关系？

为什么在自然坐标系里，牛顿第二定律要分成切向和法向两个方程写？