向心力

引入

绳子拴着小球转圈，松手后小球为什么沿切线飞出，而不是沿着半径飞出去？

为什么向心力不是一种新的力？

为什么同样的速度过弯，半径越小越容易打滑？

向心力最容易误解的一点是：它不是“多出来的一种力”，而是已有合外力在法向的分量。找不到施力物体，就没有向心力。

正文

定义

物体沿圆周或曲线轨道运动时，指向圆心（曲率中心）的合外力分量，大小为 $F_n=m{\omega }^{2}r=\frac{m{v}^2}{r}$

向心加速度

$$a_n=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r$$

向心加速度只改变速度的方向，不改变速率。这一点决定了它始终垂直于速度，因此瞬时功率为零。

推导

由加速度定义式 $a=\Delta v/\Delta t$ 出发。在轨迹上取 $AB$ 两点，速度方向分别垂直于对应的半径。

由 ${\vec{v}}_2+(-{\vec{v}}_1)$ 作矢量三角形，可得 $\Delta ABC$。当 $A$、$B$ 非常接近时，这个三角形与半径三角形 $AOB$ 相似：

$$\begin{array}{c}\frac{\Delta v}{v}=\frac{\overline{AB}}{r}\\ \Delta v=\frac{\overline{AB}}{r}\cdot v\\ a_n=\frac{\overline{AB}\cdot v}{r\cdot t}\end{array}$$

因为 $\overline{AB}$ 极小时，弧长与弦长近似相等，$\overline{AB}/t\to v$，于是

$$a_n=\frac{v^2}{r}$$

推导的关键近似是“小角度下弦长趋近弧长”。角度不小的时候，这个式子仍然成立，因为极限过程已经取完。

向心力公式

$$F_n=m{\omega }^{2}r=\frac{m{v}^2}{r}$$

推导

由牛顿第二定律、向心加速度和角速度：

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{F}_n=m{a}_n\\ a_n=\frac{v^2}{r}\\ v=\omega r\end{array}\\ 解得：F_n=m{\omega }^{2}r\end{array}$$

向心力的来源

向心力只是“角色”，不是“种类”。实际提供它的可以是：

场景	向心力来源
绳系小球	绳的拉力
汽车转弯	轮胎与地面的静摩擦力
卫星绕地球	万有引力
电子绕核（经典模型）	库仑力
圆锥摆	重力与拉力的合力

分析题目的第一步永远是：先找施力物体，再分解到法向。不要一上来就写 $F=m{v}^2/r$，那样容易把不存在的力写进去。

常见误区

错误说法	问题
“物体受到向心力，同时还受离心力”	惯性系中没有离心力
“向心力是一种新的力”	它是合外力的法向分量
“速度越大向心力越大，所以转弯半径越大”	速度增大需要更大向心力，若力不够则半径被迫增大

引出

当使用自然坐标系分析时，向心加速度就是法向加速度，切向加速度负责改变速率。

圆锥摆的周期与摆角有什么关系？

非匀速圆周运动中，向心力公式还成立吗？