向心力

引入

圆周运动的特点是会有指向曲率中心的作用力控制物体运动的方向

正文

定义

当物体沿着圆周或者曲线轨道运动时，指向圆心（曲率中心）的合外力作用力，$F_n=m{\omega }^{2}r$

向心加速度

$$a=\frac{v^2}{r}$$

推导

由加速度的定义式可知 $a=\frac{\Delta v}{t}$ 在运动轨迹上取$AB$两点，它的速度方向垂直于半径，因撤去向心力后，根据牛顿第一定律，合力为零的物体做匀速直线运动，而圆周运动的物体它速度方向正是轨迹圆的切线方向。

由$\overline{v_2}+(-\overline{v_1})$可得出矢量三角形，$△A^{\prime }{B}^{\prime }C$，$\overline{\Delta v}=\overline{A^{\prime }{C}^{\prime }}$,当$A^{\prime }{B}^{\prime }$点非常接近，即$\angle A^{\prime }{B}^{\prime }C$非常小，此时的$\angle B^{\prime }{A}^{\prime }C=\angle B^{\prime }C{A}^{\prime }\approx 90^{\circ }$，则$△A^{\prime }{B}^{\prime }C\sim △AOB$,有：

$$\begin{array}{c}\frac{\Delta v}{v}=\frac{\overline{AB}}{r}\\ \mathrm{其中}v\mathrm{是}\overline{v_2}\\ \Delta v=\frac{\overline{AB}}{r}\cdot v\\ a_c=\frac{\overline{AB}\cdot v}{r\cdot t}\\ \mathrm{因}\overline{AB}\mathrm{极小}，AB\approx \stackrel{⌢}{\mathrm{AB}},\mathrm{则}\frac{\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}}{t}=v\\ a_c=\frac{v^2}{r}\end{array}$$

向心力公式

$$F_n=m{\omega }^{2}r$$

推导

由牛顿第二定律、向心加速度、角速度可得：

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}Fn=ma\\ a=\frac{v^2}{r}\\ v=\omega r\end{array}\\ 解得：F_n=m{\omega }^{2}r\end{array}$$

引出

当使用自然坐标系来分析时，可发现向心加速度即为切向加速度。