麦克斯韦方程组

引入

库仑定律、安培环路定理、法拉第定律各自只管一部分现象，能不能写成一组合统一的方程？

为什么麦克斯韦只加了一项，就能预言电磁波？

为什么这组方程直接动摇了绝对时空观？

库仑、安培、法拉第的定律是分散的经验总结。麦克斯韦把它们统一成四个方程，并补上关键的位移电流项，结果不仅解释了所有已知电磁现象，还预言了一种全新的东西——电磁波。

正文

定义

麦克斯韦方程组是描述电场和磁场如何产生、如何相互作用的四个偏微分方程，是经典电磁学的完整理论框架。

四个方程

方程	微分形式	物理含义
高斯定律	$\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$	电荷是电场的源
磁场高斯定律	$\nabla \cdot \vec{B}=0$	不存在磁单极子
法拉第定律	$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$	变化的磁场产生电场
安培-麦克斯韦定律	$\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$	电流和变化的电场产生磁场

四个方程分成两组：

• 前两个是通量方程，描述场的“源”
• 后两个是环流方程，描述场的“旋”

麦克斯韦的关键贡献

安培环路定理原本只适用于稳恒电流。麦克斯韦引入了位移电流项：

$${ϵ}_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

这个修正使方程在时变场中也成立，同时保证了电荷守恒。

修正的深远后果：

变化的电场产生磁场
  ↓
变化的磁场产生电场
  ↓
两者互相激发、自我维持
  ↓
以光速传播的电磁波

电磁波的推导

在真空（$\rho =0$，$\vec{J}=0$）中，联立法拉第定律和安培-麦克斯韦定律：

$$\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=-\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \vec{B})$$

化简得波动方程：

$${\nabla }^2\vec{E}={\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$$

波速：

$$v=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}}=c\approx 3\times 10^{8}m/s$$

这个结果恰好等于当时已测得的光速。麦克斯韦由此断言：光就是电磁波。

边界条件与光学

麦克斯韦方程组在两种介质的界面处给出边界条件，可以推导：

光学规律	来源
反射定律	电场切向分量连续
折射定律	波速在介质中改变
布儒斯特角	特定偏振条件下无反射
全反射	从光密到光疏，超过临界角

这说明几何光学和波动光学都可以从麦克斯韦方程组推出，不是两套独立理论。

与相对论的关系

麦克斯韦方程组给出的光速是一个常数，与观察者的运动状态无关。这与伽利略变换矛盾，直接导致狭义相对论的建立。

爱因斯坦正是从“麦克斯韦方程组在所有惯性系中形式不变”这一要求出发，重新定义了时空。

引出

麦克斯韦方程组是经典物理学的巅峰之一。它在高速情况下的修正涉及狭义相对论。

在微观尺度上，电磁相互作用的量子描述是量子电动力学（QED），它解释了化学键的物理本质中更精细的效应。

为什么位移电流不产生焦耳热？