余弦定理

引入

已知两条边和它们的夹角，第三边怎么求？勾股定理只在直角时成立，钝角和锐角怎么办？

为什么余弦定理的公式里会出现 $\cos C$，而不是 $\sin C$？

余弦定理和勾股定理，是两条定理还是一条？

勾股定理是余弦定理在 $C=90^{\circ }$ 时的特例。把”直角”放松为”任意角”，多出来的修正项就是 $-2ab\cos C$。

正文

定义

在 $△ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，则 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

推导

把 $△ABC$ 放在直角坐标系中，令 $C$ 在原点，$B$ 在 $x$ 轴正半轴上，坐标为 $(a,0)$。由 单位圆定义的推广，$A$ 的坐标为 $(b\cos C,b\sin C)$。

由两点间距离公式：

$c^2=(b\cos C-a{)}^2+(b\sin C{)}^2=b^2{\cos }^{2}C-2ab\cos C+a^2+b^2{\sin }^{2}C$

因为 ${\sin }^{2}C+{\cos }^{2}C=1$，得

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

与勾股定理的关系

当 $C=90^{\circ }$ 时，$\cos C=0$，公式退化为 $c^2=a^2+b^2$。

角 $C$	$\cos C$	$c^2$ 与 $a^2+b^2$ 的关系	三角形形状
锐角	$>0$	$c^2<a^2+b^2$	锐角三角形
直角	$=0$	$c^2=a^2+b^2$	直角三角形
钝角	$<0$	$c^2>a^2+b^2$	钝角三角形

所以余弦定理不只是”求边”的工具，也是判断三角形形状的工具：比较最大边的平方与另两边平方和即可。

适用的两类问题

已知条件	求什么	用余弦定理的理由
两边及夹角（SAS）	第三边	直接代入
三边（SSS）	各角	变形求 $\cos$

变形形式：

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

为什么余弦定理不会有两解

由 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 求 $A$ 时，余弦函数在 $(0,\pi )$ 上严格单调递减，一个余弦值只对应一个角。所以只要三边满足三角形不等式，解就是唯一的。

这与正弦定理的 SSA 情况形成对比：正弦在 $(0,\pi )$ 上不单调（先增后减），才会出现两解。

与正弦定理的配合

步骤	做法
判断用哪个	有夹角或三边用余弦；有两角一边用正弦
混合使用	先用余弦求第三边，再用正弦求小角
求角优先顺序	优先求较小角，避免钝角歧义

求角时为什么不优先求大角？ 因为正弦定理求钝角时，$\arcsin$ 只返回锐角，需要人为判断补角。而余弦定理对钝角返回负值，自动区分，没有歧义。所以用正弦求角时，先求小角更安全。

常见误区

错误说法	问题
”余弦定理只能求边”	变形后可求角、判断形状
”$\cos$ 前系数是 $2ab$“	是与该角相邻两边之积的两倍
”三边已知时用正弦定理更快”	三边无对角配对，必须用余弦
”余弦定理与勾股定理是两条独立定理”	前者包含后者
”用正弦求角不用考虑钝角”	$\arcsin$ 只给锐角，需补角判断

引出

三边满足三角形不等式的条件下，为什么解一定唯一？

余弦定理能否推广到四面体中的二面角？

向量点积与余弦定理是什么关系？

• 正弦定理：对边与对角的转换
• 三角恒等式：化简中常用的恒等式
• 三角函数的几何定义：余弦值的来源
• 三角函数：三角函数的整体结构
• 数学分析：数学分析的整体框架