正弦定理

引入

只知道三角形的两条边和一个非夹角，能确定这个三角形吗？

为什么 $\frac{a}{\sin A}$ 对同一个三角形的三组边角都相等？这个比值有几何意义吗？

为什么正弦定理会出现”两解”的情况，而余弦定理不会？

解三角形的核心是把”边”和”角”这两类量互相转换。正弦定理负责转换对边与对角，余弦定理负责处理夹角与第三边。

正文

定义

在 $△ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，$R$ 为外接圆半径，则 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

比值 $2R$ 的来源

作 $△ABC$ 的外接圆，圆心为 $O$。连接 $BO$ 并延长交圆于 $D$，则 $BD=2R$，且 $\angle BCD=90^{\circ }$（直径所对的圆周角）。

在直角三角形 $BCD$ 中，$\sin D=\frac{BC}{BD}=\frac{a}{2R}$。

又因为同弧所对的圆周角相等，$\angle D=\angle A$（当 $A$ 为锐角）或 $\angle D=\pi -A$（当 $A$ 为钝角），两种情况下 $\sin D=\sin A$ 都成立。于是

$\frac{a}{\sin A}=2R$

对其他两边同理。这说明比值 $2R$ 不是巧合，而是外接圆的直径。

适用的两类问题

已知条件	求什么	用正弦定理的理由
两角一边（AAS、ASA）	其他边	第三角由内角和求出，再用比值
两边及一边的对角（SSA）	另一对角	直接代入求 $\sin$

两类问题的共同点是：已知量与未知量构成”边—对角”配对。

为什么 SSA 会有两解

由 $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$ 求出 $\sin B$ 后，$B$ 在 $(0,\pi )$ 内可能有两个解：$B$ 与 $\pi -B$，因为 $\sin (\pi -B)=\sin B$。

情况	解的个数
$a<b\sin A$	无解
$a=b\sin A$	一解（$B=90^{\circ }$）
$b\sin A<a<b$	两解
$a\ge b$	一解

判定关键是”大边对大角”：若 $a\ge b$，则 $A\ge B$，而 $B$ 不可能取钝角解（否则 $A+B\ge \pi$），故只有一解。

这也是正弦定理唯一的”陷阱”：它给出的是 $\sin B$ 的值，不是 $B$ 的值。

边角互化

正弦定理可以把齐次的边关系与角关系互相转换：

原式	转化后
$a=2R\sin A$	边化为角的正弦
$\sin A=\frac{a}{2R}$	角化为边
$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$	边的比等于正弦的比

注意第三条：只有齐次式才能直接替换。若式中出现 $a^2$、$ab$ 这类二次项，替换后会出现 $4R^2$ 因子，需整体约去，不能逐项替换。

与余弦定理的分工

定理	处理的对象	典型场景
正弦定理	对边与对角	已知两角一边、SSA
余弦定理	夹角与第三边	已知两边及夹角、三边

选择原则：看已知条件里有没有”夹角”或”三边”。有则用余弦，没有则用正弦。

常见误区

错误说法	问题
”$\frac{a}{\sin A}$ 等于 $R$“	等于 $2R$
“SSA 一定只有一解”	可能两解或无解
”正弦定理可以求任意三角形”	三边已知时无法直接用
”边化角可以逐项进行”	只在齐次式中成立
”$\sin A>\sin B$ 等价于 $A>B$“	三角形内成立，一般角不成立

引出

如果已知三边，没有角，正弦定理还能用吗？

余弦定理与勾股定理是什么关系？

为什么 $\frac{a}{\sin A}=2R$ 能把”解三角形”和”外接圆”联系起来？

• 余弦定理：夹角与第三边
• 三角恒等式：化简中常用的恒等式
• 三角函数的几何定义：正弦值的来源
• 三角函数：三角函数的整体结构
• 数学分析：数学分析的整体框架